遞歸模型視角下數學概念理解的研究

方娜　吳華

[摘 要]數學概念理解是提升問題解決能力和高階思維能力的基礎，在數學教育領域至關重要。數學理解的遞歸模型為揭示概念理解過程提供了新視角?；谶f歸模型，遵循客觀抽象與直觀具體、歷史順序與“超回歸”倒序、證偽與證實、行為實踐與表達證明的設計準則，重構數學概念教學模型，促進數學概念理解。

[關鍵詞]遞歸模型;數學概念理解;融通;分數概念教學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0024-03

在數學研究或數學教育中，數學概念理解一直是國內外討論的重要話題。1989年全美數學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）明確提出：“數學課程的重點應該是‘數學概念和理解，數學教育研究者和教學設計者要將數學理解作為數學研究的首要重點?！薄镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（實驗）》指出：“在教學中應強調對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學習者逐步加深理解?！睌祵W概念理解在數學學習活動中至關重要，但當前的概念教學卻存在形式化的現象：引入概念時背景著墨不夠，導致學習者對教學的內容、方法和意義知之甚少;以解題教學代替概念教學，本末倒置。

數學概念教學，關鍵是要細化數學概念的理解層級，揭示學習者對數學概念的理解進程，同時遵循客觀抽象與直觀具體、歷史順序與“超回歸”倒序、證實與證偽、行為實踐與表達證明有機融合的原則。課程開發者和教師可以根據數學概念理解的層級與原則來設計課程或組織教學。下面通過數學概念理解的遞歸模型和分數概念的實例分析，探索理解過程的新視角和概念教學的新策略。

一、數學概念理解及其遞歸模型

1.數學概念理解的內涵

在《辭?！分?，“理解”是指了解、領會，深入解釋為對新事物的認識是通過揭露事物間聯系的過程。《全日制義務教育階段數學課程標準（實驗稿）》將“理解”解釋為“能描述對象的特征和由來;能明確地闡述此對象與有關對象之間的區別和聯系”。

數學學習中的概念理解，應由學習者對已學東西的意義不斷更新、改造、組織、整理，建構有序的整體，從整體內部進行正逆向、交叉、跳躍式的聯系，從總體中認識局部的、孤立的概念之間的內部聯系，以抓住本質屬性。數學概念理解的遞歸模型以嶄新的視角，直觀形象地揭示學習者進行數學概念理解的層次及條件。

2.數學概念理解的遞歸模型

（1）數學概念理解的遞歸模型簡介

1989年，Pirie和Kieren結合認識與認識論障礙、概念定義與概念表象、多元表征、操作性概念與結構性概念等理論，提出了數學概念理解的遞歸模型。數學概念理解分為八個水平，分別為：“Primitive Knowing（原始認知）”“Image Making（產生表象）”“Image Having（形成表象）”“Property Noticing（關注性質）”“Formalising（形式化）”“Observing（觀察述評）”“Structuring（構造化）”“Inventing（發明創造）”（如圖1）。后繼研究者又將八個理解水平精簡為四個：數學活動、表象、形式化、構造化（如圖2）。模型各個水平間“超越回歸式”的相互包含，從認知的觀點認為數學概念理解的增長非直線式的發展，而是一種整體的、有層次的、超越回歸的心理過程，在這個過程中獲得并應用一個靜態的數學概念。

（2）數學理解的遞歸模型特點

超越性：外層理解水平包含和發展內層理解水平，并將內層理解水平協調統一。內層理解是外層理解的基礎，外層理解是內層理解的升華。

回歸性：這是數學概念理解的關鍵組成部分和核心特征。它揭示了理解過程的非線性，當在任何層級遇到不能立即解決的問題時，學習者需要返回到原有的、內在的層級，重建和完善對內在層級的理解，以支持、加深對外在層級的理解。這種返回的認知活動與最初的認知活動不同，它的水平更高、更有效?；貧w行為在深化數學概念理解的過程中并非都必要，回歸的有效性取決于學習環境和學習者個人，特別是當學習者被鼓勵折回內層收集特定的信息時，這種回歸變得更有效，因為它帶有目的性。

行為與表達的互補性：這是層次本身的結構特征，出現在“產生表象”“形成表象”“關注性質”三個層級中，超越原始認知的每一個層級都是由行動與表達的互補組成的?！皡⑴c”“回顧”“觀看”“表達”“預測”和“記錄”是數學概念理解由內層向外層的發展和過渡。

（3）概念數學理解的遞歸模型誤區

學習者對某一個數學概念的原始認知并非是最低級認知。在沒有掌握基本概念之前積累的知識將被嵌入新的理解層次中。如圖3，學習者掌握分數概念后，會將對分數概念的高層次認知作為理解小數的原始認知。

數學概念理解的遞歸模型的最外層被稱為“發明創造”，并非學習者在其他層面上無“發明創造”：在“產生表象”層級，學習者能夠根據學習內容，建構具有數學意義的實際情境，并對實際情境有合理的考量，這種“發明創造”更符合學習者的心智與認知。

二、遞歸模型視角下數學概念教學模型的重構

1.數學概念教學的策略

（1）數學概念教學體現客觀抽象與直觀具體的融通

數學概念從數量關系或空間形式來反映事物的本質特點，多以定義的形式表述，具有簡潔性、概括性、抽象性。學習者在接觸某個新的概念時，最佳的學習方法是通過模型直觀和實踐參與，產生和形成相關知識的表象。引入一個與原來概念相關的新概念時，靈活地把上一種概念的表征方式作為下一種概念呈現的表象，可提升對數學對象的關聯性理解，實現概念不同表征方式間的融通，優化概念形成和概念同化過程。

（2）數學概念教學體現歷史順序與“超回歸”倒序的融通

歷史發生原理指出，個體知識的發生過程遵循人類知識的發展過程。近年來，將歷史發生原理應用于數學教育，更是得到眾多實證研究的肯定?！俺貧w”倒序，是指每當引入新的概念意義時，都應“超回歸”到已學習過的原有概念的意義。為了使學習者理解數學概念的多種意義，教材編寫和教學既要以數學知識發展為主線，將學科體系有機地融入教學設計中，又要兼顧個體對概念意義的理解具有“超回歸”倒序的特點，允許存在學習上的反復，使學習者有時間、有機會對自己的思維活動進行反省，加深對新知識的理解。在進行外層次教學時要為學習者設計折回的機會，凸顯新舊知識間的聯系，引導學習者獲得對數學概念的正確理解。

（3）數學概念教學體現證實與證偽的融通

證實就是證明一個問題的真實性。證偽思想則來源于波普爾的證偽主義?？陀^地說，證實只是部分解決了“是什么”和“為什么”，卻不揭示“真”和“偽”之間的界限，而這一界限對學習者真正理解數學概念本質是十分必要的。在概念教學中，如何兼顧證實與證偽是研究者應當慎重思考的問題，適度設置偽命題，能使學習者明確真假命題的界限，掌握概念的性質。但過度設置偽命題，可能會誘導學習者的思維朝錯誤的方向發展。證偽與證實的融通將促進學習者理解概念的本質，推動理解進程向更高層發展。

（4）數學概念教學體現行為實踐和表達證明的融通

理解和掌握數學概念需要花費大部分時間參與活動，發現、概括活動的規律，合作交流，解決相關問題。歐內斯特曾說：“數學知識的基礎是對話，數學證明是一種特殊的敘事……證明是用來說服數學共同體中其他成員接受一個陳述或一組陳述為數學知識的一個文本?！备鶕祵W概念理解的遞歸模型，“參與”“回顧”“觀看”“表達”“預測”和“記錄”是數學理解層級由內而外發展的過渡，在學習數學概念時，教師可給出數學表達式，由學習者設計具體情境下符合該數學表達式的問題并動手操作，實現數學意義與實際情境的雙向建構，促進數學概念理解由最初的原始認知向最后的發明創造過渡。

2.數學概念教學模型的重構

基于數學”理解的遞歸模型和數學概念教學的策略，重構數學概念教學進程（如圖4），即數學活動階段、表象階段、形式化階段、構造化階段。

三、 分數概念教學設計

1.遞歸模型視角下分數概念教學模型的重構

近20年，研究者對分數學習的關注點主要在分數基本概念的理解。在目前的研究中，有的學者著眼于分數定義研究，有的學者從教學與數學兩個層面來探討分數本質。不管從哪個角度展開研究，最終都要回到對分數意義理解這一基本問題上。因此，就小學分數的理解與教學而言，首先應探討其意義。

J.Pack等學者根據分數意義的歷史演變，將分數分為“部分/整體”“測量”“除法” “集合論”這四種意義（“集合論”的意義在小學階段幾乎不提及）。王光明等學者借鑒 Nurgul Duzenli-Gokalp和 Manjula Devi-Sharma 的思想，基于數學概念理解遞歸模型的內涵，構造出分數意義理解的數學概念理解模型（如圖5），并指出分數的外層意義是建立在內層意義基礎上的，綜合與發展了內層意義，對內層意義的及時回顧，將有助于學習者學習新的分數意義。借鑒上述學者觀點，筆者建構了融通歷史順序和“超回歸”倒序的分數教學模型，如圖6。

2.分數概念教學的策略

（1）創設數學與學習者生活結合點情境，感悟分數意義

在北師大版教材中，分數的學習最早出現在三年級上冊，通過對“平均分割月餅”的認識，讓學習者體會“部分/整體”的意義;在五年級，利用“丈量物體”的方式，讓學習者初步感知分數的“測量”意義;在六年級，通過對“乘法的逆運算”等內容的學習，讓學習者建立乘法與除法之間的運算關系，從而引出分數的“除法”意義。

（2）融通歷史順序和“超回歸”倒敘，內化分數概念

分數意義演變的歷史順序，是指從低年級到高年級依次引入“部分/整體”“測量”“除法”三種分數意義。分數意義的“超回歸”倒序表現為，在引入“測量”意義時，又對“部分/整體”意義進行了嚴格定義和再學習。在六年級引入“除法”意義時，又回歸到了“部分/整體”與“測量”意義。例如，對“部分/整體”意義的回顧，主要運用數學實踐活動（把一張紙的4/5平均分成2份），有助于增強學習者對“除法”意義的理解。這種順序與倒序的融通，符合學習者對數學概念的理解進程與認知規律，從而更好地理解分數的概念。

（3）兼顧“證實”與“證偽”， 凸顯分數本質

動態的數學觀認為，數學教學應是由不確定知識到確定知識的漸進過程，在探尋結論的過程中，“證偽”起著非常重要的作用，在確定結論的時候，“證實”又發揮著不可替代的作用。在分數概念教學中，可適度設置如圖7所示的問題，融通“證實”與“證偽”， 凸顯分數本質。

（4）融通數學與生活，形成分數概念體系

分數概念可以表征多種相關但不同的意義，掌握分數概念的重要標志是不同層級意義的融通。在教學小數概念時，教師可引導學習者思考小數與分數的聯系與區別，進行“超回歸”倒序學習，更好地實現分數概念的高層次認知向小數概念認知的過渡，從而加深分數概念的理解，促進小數概念的獲得。只有融通相關概念，融通數學與生活，才能形成數學概念體系，實現數學概念理解由原始認知層級向發明創造層級的過渡。

四、結語

數學概念理解的遞歸模型詳細刻畫了學習者進行概念理解的過程，為開展數學概念教學提供理論依據和策略引導?；谶f歸模型，實現數學概念的客觀抽象與直觀具體、概念意義的歷史順序和“超回歸”倒序、概念邏輯的證偽與證實、概念體驗的行為實踐和表達證明之間的融通，就能促進學習者對數學概念的理解。

（責編 金 鈴）