“兩位數乘兩位數”筆算教學剖析及重構

劉丹丹

[摘 要]三年級下冊的“兩位數乘兩位數”筆算教學是一項系統的工程，筆算的算理、算法教學要依托直觀模型，在有限的課堂時間里聚焦本課重難點進行教學是提高課堂效率的關鍵。教師可從改編教材例題出發(fā)，采用專題式分步驟推進方式進行教學重構，使學生能學在當堂、練在當堂，并拓展于課外。

[關鍵詞]兩位數乘兩位數;算理;算法;先分后合;數形結合

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0027-03

筆者研究了幾個不同版本的“兩位數乘兩位數”筆算教學課例，發(fā)現一個普遍現象是課上算法多樣，但能當堂掌握算法并正確計算的學生卻很少。尤其是公開課、觀摩課上，教師預設滿滿，恨不得把一切都裝進學生腦子里，但呈現太多的算法擠占了學生當堂練習的時間，反倒造成學生似懂非懂，計算時容易出錯。這樣的課堂看似精彩紛呈，但由于學生練習時間不夠，后測結果令人擔憂。如《小學數學教師》2018年第2期刊載的《主題式學習促進系統化思考——從兩節(jié)“兩位數乘兩位數”的研究課辯起》課堂實錄中，蔣徐巍老師提問：“我想問一下王老師，您覺得按照今天這樣的學習進程，學生的達成情況怎么樣？”王瑾老師回答：“如果從會算兩位數乘兩位數這樣一個知識層面來說的話，我統計了45位學生的作業(yè)，第一題有7～8位學生沒有掌握?！币簿褪钦f，第一題的錯誤率達16%～18%。這是正常現象嗎？筆者的同事教學了同一內容后進行后測，發(fā)現學生的錯誤率高達24%。筆者也進行了同一內容的教學，在后測中發(fā)現有21%的錯誤率。

難道盡力展現算法的多樣化就會影響學生計算的正確率嗎？不進位的筆算兩位數乘法有如此高的錯誤率是一種正常現象嗎？能否通過改進教學環(huán)節(jié)讓課堂更高效？帶著這樣的思考，筆者進行了如下研究和教學重構。

一、聚焦問題分析與思考

許多教師教學“兩位數乘兩位數”時都覺得時間不夠用，教學時間到底去哪了？筆者反復研究課例發(fā)現，教師依據例題展現算法多樣化的環(huán)節(jié)占用了半節(jié)課的時間，而講解本課教學重難點——筆算算理和算法的時間不足，更沒有足夠的時間讓學生進行當堂練習。

人教版教材三年級下冊“兩位數乘兩位數”的例題選用了14×12。編者的意圖很明顯，12既可以看成2×6或3×4，也可以看成10+2，同時可以把另一個因數看成幾乘幾或幾十加幾。如14×12=14×2×6，14×12=14×3×4，14×12=14×（10+2），14×12=14×（6+6），14×12=（10+4）×12，等等。從表面上看，教師引導學生把新知轉變?yōu)榕f知來解決問題，以學生為主體，關注了學生學習的最近發(fā)展區(qū)，而且盡可能地展現了算法的多樣化，即既可以用乘法結合律將算式轉化為一位數乘多位數來計算，如14×12=14×2×6，也可以根據乘法分配律來計算，如14×12=14×（10+2）=14×10+14×2（雖然還沒學到乘法結合律、分配律，但學生可以結合實例領悟），為學生后續(xù)學習乘法結合律、分配律積累了數學活動經驗。但這樣教學實際卻是把大量的時間花在算法多樣化的探究上，導致沒有足夠的時間來關注筆算的算理和算法，更沒有時間進行當堂鞏固練習。這也是學生后測時計算錯誤率高的原因。筆者認為造成這一現象的原因在于本課設計的知識目標重難點不明確——是關注解決問題的算法多樣化，還是聚焦“兩位數乘兩位數”筆算算理算法的教學？從學生心理角度考慮：我已經用自己喜歡的連乘方法算對了，如14×12=14×2×6，為什么還要學別的方法？故而有些學生會滿足于自己的算法而消極被動聽課，這樣缺少內心需求的學習是沒有動力的，是低效的。筆者認為，如果一定要讓學生探索算法的多樣化，完全可以在他們掌握筆算的算理和算法后進行。

基于以上分析，筆者對“兩位數乘兩位數”的教學目標進行了重新定位。一是過程性目標切口要小，引導學生利用點子圖、方塊圖，通過數形結合理解算理，經歷探究筆算方法的過程。二是結果性目標要分步驟實施：理解算理、掌握算法、知道豎式寫法，并能正確驗算。在學完“兩位數乘兩位數”之后，再以專題式分步驟推進目標提升。如學完面積后，可結合面積知識用數形結合思想進一步加深對算理的理解，溝通知識間的聯系。三是情感態(tài)度明確，考慮到三年級學生上課注意力易分散、持續(xù)時間短等特點，設計小目標推進學習，逐步深化理解。拓展方面，可在學完本單元內容之后引導學生了解兩位數乘兩位數的數學史，鼓勵學生自主學習，并通過延后作業(yè)，如“假期說題”等讓學生把學習收獲與同學交流分享，提升綜合能力。

二、專題式分步驟推進與實施

（一） 改編例題，突出筆算乘法算理算法目標教學

基于上述思考，筆者把人教版教材“兩位數乘兩位數”的例1進行了如下改編：

【活動一】每套書有12本，王老師買了13套。一共買了多少本？

師：誰能解決這個問題？能說說道理嗎？

生1：12×13。每套有12本，13套就是13個12本，用乘法計算。

師：對，這就是我們今天要研究的內容——兩位數乘兩位數。你們會計算嗎？

生2：我先算10套，有12×10=120（本），再算3套，有12×3=36（本），因此一共買了120+36=156（本）。

生3：我把1套的12本看成10本和2本，買13套就是買13個10本和13個2本。10×13=130（本），2×13=26（本），所以一共買了130+26=156（本）。

師：兩種思路的計算結果一致，都是“先分后合”計算，為什么都分出了整十數來乘？（生：計算簡便）你們能通過把新知轉化成舊知來解決問題，真棒！

改編后的例題直接指向用乘法分配律來解決問題，解決了原先因要展現太多算法而造成的筆算算理算法教學時間不足和理解思路上的沖突（乘法分配律和結合律兩種不同思路），為教學筆算重難點爭取了寶貴的時間。此外，教師的引導滲透了優(yōu)化思想，為高效課堂做了鋪墊。

（二）數形結合，加深筆算乘法算理算法理解

【活動二】把計算的方法和道理在圖上表示出來。

1.如果1個點代表1本書，請把你的想法在點子圖（如圖1）上表示出來。（學生嘗試，方法一和方法二分別如圖2、圖3所示）

方法一：12×10=120（本）

12×3=36（本）

120+36=156（本）

方法二：10×13=130（本）

2×13=26（本）

130+26=156（本）

師：我們可以用1個點表示1本書，也可以用1個方塊表示1本書。如果1個方塊代表1本書，10個方塊為1列，那么12本書（1套）就是1列加2個方塊。（教師出示如圖4所示的兩張直觀圖，分別是10套和3套）

2.你能用豎式計算這道題嗎？（教師將方塊與豎式對應，引導學生回顧多位數乘一位數的筆算方法）

方法一：把13套分成10套和3套，3套就是3個12本，即12×3，利用筆算一位數乘多位數的方法計算即可;10套就是10個12本，教師利用數形結合講解筆算過程與寫法（如圖4），強調12×10的積在豎式里表示時，個位的0可以不寫。

師：完成筆算后，我們可以用另一種方法（方法二）來驗算。

方法二：筆算乘法時，先把零散的方塊算出來。13套包含13個2本，即26本，再算整列方塊即13個10本，有130本，最后把兩部分加起來（如圖5）。

具體筆算時，要對照豎式明確：先用12個位上的2去乘13，得26個一，即26，所以26末位上的6應與個位對齊;再用12十位上的1去乘13，得13個十，即130，個位上的0可以省略不寫，所以13末位上的3應與十位對齊;最后把兩次乘得的積相加。

3.比較兩個豎式的異同點，說說自己的發(fā)現。

相同點：筆算時都從個位乘起，先用第二個因數個位上的數去乘第一個因數，乘得的積的末位與個位對齊;再用第二個因數十位上的數去乘第一個因數，乘得的積省去個位上的0后，末位與十位對齊;最后把兩次乘得的積相加。都是先分后合，積不變。

不同點及發(fā)現：兩個豎式因數的位置相反，但積不變?？梢杂眠@個方法來驗算乘法。

4.筆算練習。（略）

通過點子圖，學生能順利把前面兩種不同的算法清楚地展現出來（如圖2、圖3），但對于列豎式計算，點子圖幫助不大，學生大都還是用口算的方法來計算的。因此，筆者運用更直觀、能突出十進制和位值制的方塊圖，數形結合多角度整合，幫助學生理解筆算豎式的算法和算理，加深學生對本課重難點的理解和掌握。

（三）拓展時空，以文化熏陶提升綜合素質

1.練習與整合。

人教版教材中有道計算雞蛋個數的練習題（如圖6），很有趣，但筆者認為如果調整一下出現的位置會更好。學生剛學習了兩位數乘兩位數筆算，急需進行練習，鞏固算理和算法。如果在學生沒有形成筆算技能之前練習此題，從學生學習的角度看，增加了學生理解的難度，而且無法充分發(fā)揮練習題數形結合的價值。而在學完本單元，即掌握了筆算技能之后再來練習本題，學生就會自然地發(fā)現：原來筆算的每一步都能在雞蛋圖上找到相應的部分，數與形結合真有趣！

此外，在學完面積之后出示更抽象的面積與筆算兩位數乘兩位數對應的練習，能讓學生驚嘆于數形結合的精妙。

如圖7所示，是一個長45厘米、寬26厘米的大長方形。大長方形面積=45×26，對應豎式指出，每一步是求圖中哪個長方形的面積？

總之，筆算的每一步都能在長方形上找到對應的面積部分。數形結合使乘法筆算算理與面積模型深度交融，溝通了數的運算與幾何圖形間的聯系，使學生感受到數學各領域的知識是相互聯系的。

2.閱讀與分享。

數學是人類文化的重要組成部分，在計算教學中滲透數學文化能更好提高學生數學素養(yǎng)。如：“你知道古代人是怎樣計算乘法的嗎？在數學的發(fā)展史上，筆算乘法也走過了不平凡的道路。明朝有一種叫‘鋪地錦的算法（如圖8），你能在圖中找到兩個乘數（13，12）和它們的乘積（156）嗎？”

學完本單元后，筆者給學生分發(fā)閱讀資料，讓學生進行閱讀并分享。利用延后作業(yè) “假期說題”，學生充當小主播講解，由家長協助拍攝微視頻，上傳到班級QQ群中進行交流分享。如，有一位學生這樣介紹“鋪地錦”算法：“大家好！我是數學小主播，今天我給大家介紹一種古代計算兩位數乘兩位數的格子計算法，也叫‘鋪地錦算法。上面是13×12的計算過程?？吹椒礁裆厦媸?3，右面是12，乘得的每一步都寫在格子里。從右下方開始算起，二三得六，在個位寫6……最后斜著加起來（個位為6，十位為5，百位為1），合起來就是156。你們知道用‘鋪地錦計算乘法了嗎？畫出格子自己試一試計算24×21吧！”

同時，筆者還讓學生了解系列數學文化史知識，如算籌法、古印度豎式、劃線法等，借助“假期說題”微視頻分享，把課內知識與課外知識相結合，促進學生理解“兩位數乘兩位數”的內涵，知道知識的來龍去脈，在豐富知識面的同時感受數學文化的魅力，培養(yǎng)了學生的興趣，提升了學生的綜合素養(yǎng)。

總之，這樣系統地重構“兩位數乘兩位數”筆算教學，取得了令人滿意的教學效果。小學數學教學課時有限，“兩位數乘兩位數” 筆算教學一般安排7至8個課時完成，包括不進位乘法、進位乘法和解決問題教學。我們采用專題式小目標分步驟推進，兼顧了小學三年級學生的心理特點和接受能力，在學習的不同階段系統地整合筆算乘法內容，有利于加深學生對知識內涵的理解。其實三年級學生乘法計算能力的提高，是一個長期的過程。筆者對三年級學生的一次期末測試情況進行分析，發(fā)現錯誤率達36%，其中有18%是加法進位出錯，13%是乘法口訣出錯，5%是抄錯或格式錯誤。因此，要提高學生的計算能力，就要根據班級學生的具體情況，進行針對性訓練與計算品質培養(yǎng)，同時還要注意與學生專注力等身心發(fā)展相協調。

“兩位數乘兩位數”是學生進一步學習數的運算的一個環(huán)節(jié)，也是日常生活必需的一種基本技能。《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出，應當注重發(fā)展學生的運算能力。計算教學是發(fā)展學生運算能力的重要載體，教師在實際教學中應充分發(fā)揮計算教學獨特的育人價值，使培育學生數學核心素養(yǎng)落到實處。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王瑾.經歷有過程的探究? 感受有系統的學習——“兩位數乘兩位數的筆算（不進位）”教學新實踐[J].小學數學教師，2018（2）：27-31.

[2] 蔣徐巍，潘小福，陳洪杰，等.主題式學習促進系統化思考——從兩節(jié)“兩位數乘兩位數”的研究課辯起[J].小學數學教師，2018（2）：35-39.

[3] 冷滿紅. 始于“深度理解” 行于“溫故知新”[J].小學數學教師，2018（5）： 22.

[4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

（責編 吳美玲）