整體思想在解題中的應用

王蕾

【摘要】高中數學教學往往側重于學習方法和技巧的引導，有一些問題從正面看比較復雜，面對不同的問題能夠運用不同的方法求解，從而達到舉一反三的效果.其中整體思想具有一定的靈活性，如果能熟練掌握便可以避免“一葉障目，不見泰山”的情形，并且解題效率也會大為提高.本文通過對一些經典例題的解析說明整體思想在高中數學解題中的具體應用并給出一定的方法技巧，使得運用整體思想在解決有關數列、解析幾何和函數等問題中更為方便.

【關鍵詞】整體思想;解題;實踐應用

整體思想是最本質的數學思想之一，熟練掌握整體思想，能夠根據題目所給條件迅速抓住主干，并根據要求巧妙轉化等式，將復雜、不規范的問題轉化成通俗易懂的語言，化繁為簡，從而開闊思路，提高解題效率.下面結合例題說明如何運用整體思想解決問題.

一、數列問題中整體思想的運用

例1?在數列{an}中，Sn為其前n項和，若a1=32，a2=2且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0（n≥2），試判斷{an-1}（n∈N*）是否為等比數列？

根據題目所給條件，如果先求出Sn+1，Sn，Sn-1再判斷數列{an-1}是否為等比數列，計算量大并且容易出錯;但若是從題目所給等式著手，用整體代換思想，將研究對象簡單化，反倒更易進行判斷.

解?原式可化為（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.（1）

當n=1時，a2-1=1=2（a1-1）;

當n≥2時，由an+1=Sn+1-Sn，an=Sn-Sn-1，

可得an+1-2an+1=0，

即an+1-1=2（an-1），

所以an+1-1an-1=2（n≥2）.（2）

則可得（2）式對n∈N*成立.

綜上所述，{an-1}（n∈N*）是等比數列.

說明：（1）式這一步體現了局部→組合;（2）式這一步體現了整體代換思想.

整體代換：將有關聯的子式通過一定的變形后作為一個整體，代入到另一個式子中，從而減少無法確定的變量，即局部→組合→整體→局部，簡化解題過程，得出結果.

二、幾何問題中整體思想的運用

例2?如圖1所示：△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5，則該幾何體的體積是多少？

首先，題目所給幾何體為非規則幾何體，通過觀察，易想到運用分割法解題，即將幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐進行求解;但若通過補形法，可將幾何體補成一個直三棱柱，直接進行計算.

解?通過整體補形，將原幾何體補成的直三棱柱，滿足AA′=BB′=CC′=8，具體如圖2所示.

記直三棱柱ABC-EDF的體積為VABC-EDF，直三棱柱ABC-A′B′C′的體積為VABC-A′B′C′，

VABC-EDF=12VABC-A′B′C′=12×8×8×6×12=96.

說明：求解某些幾何體的表面積或體積問題，對于一些不規則幾何體若直接計算求解往往會顯得過于煩瑣，所以針對這類題型，通常運用補形法.首先通過補形將不規則圖形填補完整，再根據一般求解幾何體的方法求解表面積或體積等.

補形法的應用條件：當所給空間幾何體直接計算求解較為煩瑣且通過觀察可以延伸為常見的規則圖形時，通常運用整體補形法.

三、代數問題中整體思想的運用

例3?已知a，b為兩個不相等的實數，滿足2a2=5-3a，2b2=5-3b，求ba2+ab2的值.

這道題的常規思想方法是求出a，b的值然后代入求解，最后得出結果，但這種方法在計算時需進行分類討論且計算過程較為煩瑣;如果單看ba2+ab2式，將其合并觀察，易發現該式主要是a+b，ab的組合，所以只需運用題目所給條件計算出a+b，ab的值，即可得出答案.該題的關鍵在于需構造出滿足條件與結論的一元二次方程.

解?由2a2=5-3a，2b2=5-3b 可知，a，b為方程2x2+3x-5=0的兩個不相等的實根，根據韋達定理可得，

a+b=-32，ab=-52，

原式可化為ba2+ab2=b3+a3（ab）2=（a+b）（a2-ab+b2）（ab）2=（a+b）[（a+b）2-3ab]（ab）2=-11750.

四、函數問題中整體思想的運用

例4?已知f（x）=12lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），且當x∈[0，1]時，f（x）≤g（x）恒成立，求t的取值范圍.

這是一個含有參數的不等式恒成立問題，常規方法就是借助圖像分類討論，但是過程略微復雜且易錯.由于該題給出了特定范圍，若在求導后運用整體思想得出一個新函數，并根據單調性求出函數的最大或最小值，t的范圍就可以迎刃而解了.

解?由f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，

即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立.

此時令F（x）=x+1-2x-t≤0，（1）

即F′（x）=12x+1-2=1-4x+12x+1.

又x∈[0，1]，所以F′（x）<0，

即F（x）在[0，1]上單調遞減，（2）

故F（x）≤0在[0，1]上恒成立，

可得F（0）=1-t≤0.（3）

解之可得t≥1.

說明：（1）式是將x+1-2x-t≤0看作一個整體，再整體求導;

（2）這一步通過觀察可知函數F（x）在[0，1]上單調遞減，在[0，1]上F（0）為最大值;

（3）這一步通過取特殊點、特殊值，巧妙轉化不等式，向已知條件靠攏.

五、總?結

根據以上四個例子，可以得出，在運用整體思想解題時，首先應根據題目所給出的局部問題，放大視角，找出問題的主線.然后根據給定條件逐個分析，從整體的角度考慮，找出對應的解題方法，將煩瑣的問題靈活轉換.最后回歸局部，轉化分解得出結論.故而將整體思想的解題過程總結如下：

整體思想在數量關系、解析幾何、函數、導數等題型中都有所體現，當面對抽象復雜的數學問題時，如果能夠熟練運用整體思想方法，從問題的整體結構上考慮問題，那么繁冗的數學問題便可迎刃而解.所以，在碰到相關難題時應該充分考慮整體、轉換思想，這樣有助于理清解題思路，快速找到解題的突破口，從而在考試中提高解題效率.

【參考文獻】

[1]吳依妹.數學思想在高中數學解題中的應用[J].考試周刊，2013（62）：59-60.

[2]張慶賢.高中數學解題中整體思想的合理運用[J].學園，2014（6）：148+200.

[3]陳明娟.例說整體思想在解題中的應用[J].福建中學數學，2010（7）：44-45.