弦長問題求解策略

◇ 山東 許翠平

弦長問題是解析幾何中的經典問題，也是高考中的熱門考點.從理論上講，利用弦長公式就能解決問題，但實際上，除個別簡單問題外，直接利用一般弦長公式會使問題變得非常煩瑣，因此，怎樣求弦長是師生共同關注和必須解決的問題.

1 弦長問題分類

1.1 一般弦長問題

如果直線y=kx+b 與曲線f（x，y）=0交于兩點 A （x1，y1），B （x2，y2），則

1.2 圓的弦長問題

1.3 拋物線過焦點的弦長問題

若A（x1，y1），B（x2，y2），AB 過拋物線y2=2px（p ＞0）的焦點，且與拋物線交于A，B 兩點，則

1.4 橢圓、雙曲線過焦點且垂直于焦點所在坐標軸的弦長問題

若AB 過橢圓（雙曲線）的焦點且垂直于坐標軸，與橢圓（雙曲線）交與A、B 兩點，則（其中a 為實半軸長，b 為虛 半軸長）.

2 例題解析

例1已知拋物線C：y2=3x 的焦點為F，斜率為的直線l與C 的交點為A，B，與x 軸的交點為P.

解析

設A（x1，y1），B（x2，y2）.

點評

第一問可利用拋物線的焦點弦長公式，第二問求出y1，y2后可以直接利用弦長公式或利用拋物線y2=3x的方程求出x1，x2，即求出A，B 兩點坐標，利用兩點間的距離公式計算出

例2已知F1、F2為雙曲線的兩焦點，過F2且垂直于x 軸的直線交雙曲線于A，B 兩點，求△ABF1的面積.

解析

綜上，△ABF1的面積

點評

通徑（過焦點且垂直于焦點所在坐標軸的弦）是刻畫圓錐曲線的一個重要的量，在解題中靈活應用通徑公式往往能收到化繁為簡、化難為易的效果.

綜上所述，圓錐曲線的弦長問題，往往更側重于計算能力的考查.在處理這一類型的題目時，一定要梳理清楚解題思路，選擇適當的弦長計算公式，耐心計算，才能正確解決問題.