理工科大學數學課程間的類比與融合問題探討

曹秀娟 王言英

摘? 要：理工科大學數學課程一般包括高等數學、線性代數、概率論與數理統計和復變函數與積分變換四門課程.本文從課程內容、課程思想和教學方法三個方面，探討了高等數學和線性代數、高等數學和概率論與數理統計、高等數學和復變函數與積分變換等課程間的類比與融合問題，提出了教與學的建設性建議，對提高大學數學教學質量具有一定的指導意義。

關鍵詞：內容? 思想? 方法? 類比? 融合

中圖分類號：G642.0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2020）11（c）-0226-04

Discussions on the Analogy and Integration of Mathematics Courses in Universities of Science and Engineering

CAO Xiujuan? WANG Yanying

（Department of Basic Courses， Shandong University of Science and Technology （Jinan）， Jinan， Shandong Province， 250031 China）

Abstract： The course of College Mathematics of science and engineering generally includes advanced mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and complex variable function and integral transformation. From three aspects of content， thought and method， this paper discussed the analogy and integration between higher mathematics and linear algebra， higher mathematics and probability theory and mathematical statistics， higher mathematics and complex variable function and integral transformation. This paper puts forward some constructive suggestions on teaching and learning， which has a certain guiding significance to improve the quality of college mathematics teaching.

Key Words： Content; Thought; Method; Analogy; Integration

目前，大多數理工科大學數學課程包括《高等數學》《線性代數》《概率論與數理統計》以及《復變函數與積分變換》，授課順序絕大多數是先講《高等數學》，再講《線性代數》和《概率論與數理統計》，最后講授《復變函數與積分變換》。這些數學課程是理工科大學的基礎理論課程，也叫通識教育必修課，為后繼專業課程的學習提供必要的數學基礎和數學思想、數學方法，在大學學習過程中起著非常重要的作用。但在教學過程中，經常聽到大學生反映數學課程多而且難學，尤其是學校論壇里，對數學課的抱怨最多，關于數學的段子最多，不少同學數學課掛科，甚至畢業前才補考通過。數學課真的那么難通過嗎？其實，這些課程沒有傳說中那么難學，它們既是相互獨立的課程，相互間又有密切聯系，在課程內容、數學思想和學習方法等方面具有共性，教師在授課過程中注意類比、聯系、總結，學生掌握了這些特點，學習起來就能融會貫通，得心應手，達到事半功倍的效果。尤其是《高等數學》，作為基礎中的基礎，作為大學生接觸的第一門大學數學課程，其內容、思想和方法都對其他幾門數學課程起到鋪墊作用。因此，研究課程間的聯系、類比和融合問題，對于提高大學數學教學質量和教學效果具有重要的意義。

1? 內容的類比與融合

1.1 《高等數學》和《線性代數》有關內容的類比與融合

《高等數學》中多元函數求條件極值理論中，求函數在條件和下的極值問題，按照拉格朗日系數法，構造拉格朗日函數，求偏導，得到方程組

（1）

解方程組，求得極值 （極大值或者極小值）。若記，，，則分別是曲面，和的法向量。方程組（1）的前3個式子可以寫成的形式，說明向量線性相關，這便是《線性代數》中向量線性相關的概念，若向量線性相關，說明共面，則可寫成行列式的形式，又與《高等數學》中向量混合積的計算聯系了起來。

《線性代數》中向量內積的概念就是《高等數學》中向量數量積概念的一種推廣，n維向量沒有了3維向量那樣直觀的長度和夾角的概念，但是依然可以根據向量的坐標來定義n維向量的長度和夾角。若在《高等數學》中向量代數的教學中，啟發式教學，引導學生將3維向量推廣到n維向量，向量內積的概念自然就有了。在《線性代數》的向量內積教學中，再回憶3維向量的有關概念，同學們比較好接受新的知識點。

1.2 《高等數學》和《概率論與數理統計》有關內容的類比與融合

《高等數學》中微積分學的內容是《概率論與數理統計》中連續型隨機變量有關概念和概率計算的基礎。比如，一維連續型隨機變量的定義是由廣義積分上限的函數界定的，即若對于隨機變量的分布函數，存在非負的可積函數，使，則稱隨機變量X是連續型隨機變量，稱是隨機變量X的概率密度函數，且有，該歸一性實質是《高等數學》中廣義積分的收斂性問題;對于和，有關系，這是《高等數學》中積分上限函數的求導問題，而積分上限函數定義中只講了下限是有限常數的情況，為了后續《概率論與數理統計》課程的需要，應在《高等數學》學習中加以說明無限常數的情況。事件的概率也轉化為積分計算問題，即。連續型隨機變量X的數學期望E（X）也是積分問題，即廣義積分的絕對收斂問題。類似地，二維連續型隨機變量的概念，事件的概率計算，數學期望等又與二重積分有關，特別是廣義二重積分有關。而《高等數學》中只是講解了一維廣義積分和二重積分化為二次積分的計算方法以及應用，廣義二重積分幾乎沒有提及過，屬于延伸部分的內容。為了后續《概率論與數理統計》的順利學習，應在《高等數學》學習中拓展廣義二重積分的概念和有關計算，為課程間的銜接做好準備。

《概率論與數理統計》中離散型隨機變量的有關概念是以《高等數學》中無窮級數的有關內容為基礎的。比如，離散型隨機變量 分布律的歸一性，實質是無窮級數的收斂性問題;離散型隨機變量 的數學期望又是無窮級數絕對收斂的問題，相關的計算轉化為《高等數學》中無窮級數求和函數的問題。例如：隨機變量X服從參數為P的幾何分布，即，，其中，，，則隨機變量X的數學期望為

1.3 《高等數學》和《復變函數與積分變換》有關內容的類比與融合

在函數部分，《高等數學》講，《復變函數與積分變換》里也講，只是對于函數來說，Z的取值范圍不同，一個是實數范圍，一個是復數范圍。對于函數的一些性質，比如周期性、有界性，對于一些特殊函數，自變量取值范圍不同，性質不同。例如：指數函數滿足，說明指數函數在復數范圍內是以為周期的，在實數范圍內則是沒有周期性的;正余弦函數在實數范圍內是有界的，滿足，，但在復數范圍內，都是無界的。在教學過程中，注意采取類比、對比的方法講解，有助于學生對所學知識點的理解和區分。

在導數概念中，《復變函數與積分變換》中導數的概念為，形式上與《高等數學》中一元函數導數的概念相同，但由于復數范圍內是在復平面內沿任何方向或任何曲線的，所以比實數范圍內只是沿實數軸復雜的多，可以理解為《高等數學》中二元函數求極限時，方式的任意性。

在級數部分，復數項級數（，）的收斂問題可以轉化實部級數和虛部級數的收斂問題，即實數項級數的收斂問題。《復變函數與積分變換》中泰勒級數是《高等數學》中實數范圍內泰勒級數的延伸，求收斂半徑的方法和求泰勒級數展開式的方法均與《高等數學》中實數范圍內泰勒級數相同;《復變函數與積分變換》中洛朗級數是《高等數學》中實數范圍內泰勒級數的推廣，而對洛朗級數的學習又反過來使學生更好的理解實數范圍內泰勒級數的收斂區間。

2? 思想的類比與融合

2.1 《高等數學》和《線性代數》有關思想的類比與融合

《高等數學》中線性微分方程解的結構與《線性代數》中線性方程組的有關的解的理論是平行的，相似的。

線性微分方程解的結構，以二階線性微分方程為例，

（2）

（3）

非齊次線性微分方程（3）的通解可以表示成對應的齊次線性微分方程（2）的通解與非齊次線性微分方程（3）的特解的和的形式。

而在《線性代數》中線性方程組解的理論有，非齊次線性微分方程組AX=b的通解可以寫成對應的齊次線性微分方程組AX=0的通解與非齊次線性微分方程組AX=b的一個特解的和的形式。

2.2 《高等數學》和《概率論與數理統計》有關思想的類比與融合

《高等數學》中微分（或求導）和積分是互逆的兩種運算，這種思想方法在《概率論與數理統計》中有所體現。對于隨機變量X的分布函數，若存在非負的可積函數，使成立，則稱隨機變量X是連續型隨機變量，稱是X的概率密度函數，且有，之所以稱是X的概率密度函數是因為是的導數即變化率的問題。

2.3 《高等數學》和《復變函數與積分變換》有關思想的類比與融合

《高等數學》中講函數的性質，對于一元函數來說，函數可導則連續;對于二元函數來說，函數在某點具有偏導數和函數的連續性之間沒有關系，但若是函數可微，則不管是一元函數還是二元函數，函數都會連續。《復變函數與積分變換》中講復變函數的性質，也講連續性和可導性，還延伸到解析性。復變函數對應兩個二元實變函數和，二元實變函數可微，且滿足C-R 方程等價于復變函數可導，因此，若復變函數可導則二元實變函數可微，進而，二元實變函數連續，則對應的復變函數連續，故可得結論：復變函數可導則連續。

3? 方法的類比與融合

3.1 《高等數學》和《線性代數》有關方法的類比與融合

例3-1 任何一個定義在關于原點對稱的區間上的函數，總可以表示成一個奇函數與偶函數的和的形式。

證明：設在關于原點對稱的區間D上有定義，

令，，則易證是D上的偶函數，是D上的奇函數，且。

例3-2任何一個n階實矩陣都可以表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和的形式。

證明：設A為一個n階實矩陣，令，，則易證，B是一個對稱矩陣，C是一個反對稱矩陣，且。

以上這兩道題目，例3-1來自《高等數學》，例3-2來自《線性代數》，問題不同，思想相同，均用構造函數或矩陣的方法使問題得到解決，具有異曲同工之妙。

3.2 《高等數學》和《概率論與數理統計》有關方法的類比與融合

在《高等數學》的學習中，從一元函數微分學到多元函數微分學，從定積分到二重積分、三重積分再到曲線積分、曲面積分，運用類比、對比的學習方法特別有效，可以將新知識轉化為已經學過的舊知識，降低學習的難度，加強所學內容的區分與聯系，從而達到融會貫通、舉一反三的熟練程度。《概率論與數理統計》中，從一維隨機變量到二維、多維隨機變量的有關概念、性質及相關計算的學習，也可以運用類比、對比的學習方法，引導學生類比思維，自覺對所學內容進行研究分析，重點把握其區別與聯系，培養學生的創新意識，提高學生自主學習的能力。

3.3 《高等數學》和《復變函數與積分變換》有關方法的類比和融合

《高等數學》中，可以利用曲線積分與路徑無關的條件，用偏積分的方法求二元函數。例如：在整個面內，是某個二元函數的全微分，求出一個這樣的二元函數。解答如下：，由和 得，，取，得一滿足條件的二元函數。

《復變函數與積分變換》中，可以利用曲線積分與路徑無關的條件，用偏積分的方法求共軛調和函數。設為單連通區域D內的一個調和函數，記是的共軛調和函數，則由條件得，，由的調和性，即，可知，曲線積分與路徑無關，可用偏積分法求出：

，

其中，是區域D內一定點。

4? 結語

《高等數學》《線性代數》《概率論與數理統計》和《的復變函數與積分變換四門大學數學課程，在內容、思想和方法等方面具有相通之處，在《高等數學》教學中，強調這些重點內容，學生在后繼課程學習中就能順利銜接，降低學習難度，同時，在后繼課程教學中不斷復習、回顧《高等數學》中的相關內容，學生又可以再次溫習《高等數學》的相關內容，如此反復，學生可以逐漸對大學數學課程融會貫通。這些研究探討，對于提高大學數學教學質量和教學效果具有一定的現實指導意義。

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