“數形結合”思想在高中數學中的應用

藺興旺

(甘肅省張掖市山丹第一中學 734100)

數學這門學科的學習在學生的學習生涯中的重要性不言而喻，并且數學不僅是學生學習的重要學科，也是促進科學發展、促進社會進步的重要學科.而數學的主要研究方向就是數量關系和空間形式，說白了就是主要研究數、形的一門學科.因此，在高中數學中，靈活地運用數形結合思想是學好數學所必要的.但是，由于高中學生受到思維方式和生活經驗的限制，數形結合的思想還不能很好地靈活運用.所以，高中數學教師就有必要重視數形結合思想解題方法的教學了.筆者總結了一些高中數學中運用數形結合思想的解題方法，涵蓋了高中數學中大部分要運用數形結合思想來解題的題型.

一、數形結合思想概論

數學的起源就是古人研究的數形關系，數和形是數學研究的基本對象，其在某些條件下可以互相的轉換.在高中數學中，也是研究數形的關系，而數形結合就是數與形的關聯.數形結合是一種數學思想，其有兩種模式：一是使用數來闡述形的特點和屬性，二是使用形來直觀地表示數之間的關系.

筆者總結了在高中數學中運用數學思想的解題方法主要在三個方面：1.運用數形結合思想解決函數問題.2.運用數形結合方法解決不等式問題.3.運用數形結合解決平面幾何問題.前兩種都是用形來直觀表示數之間關系的數形結合思想，第三種是使用數來闡述形的屬性特點.

這些題型包含了高中數學中的大量題型，相信如果掌握了這些數形結合的思想方法并且靈活的運用，就能夠提高數學的成績.所以，教師要在日常教學中貫穿這些數形結合思想方法的教學，因為這些數形結合思想對學生的數學學習很有幫助.下面，筆者就結合一些例題來演示這些數形結合思想的解題方法.

二、數形結合思想解決函數問題

數形結合思想在函數問題中的運用很廣泛，比如在函數的最值、值域、取值范圍問題上，函數的單調性、奇偶性上，甚至在函數的概念性問題上都有運用.

例題1(函數的概念問題)下列選項中，哪個選項的函數存在反函數.

這個問題可以由反函數的定義得出答案：

由此可以得到有反函數的函數在“形”上的特點是x與y只能一一對應，所以此題應當選D選項.

例題2(函數取值范圍問題)設函數y=x2+2ax+1在(+∞，1]上為減函數，求a的取值范圍.

對于此類問題應當運用數形結合思想來解答：

由函數解析式可得函數圖象的對稱軸為x=-a.

∵此函數在(+∞，1]上單調遞減.

∴由函數圖象特征可得對稱軸x=-a必須在直線x=1上或者在直線x=1的右側，有-a≥1.

∴得到a≤-1.

例題3(函數單調性、奇偶性問題)設奇函數f(x)在[3,7]上單調遞增，并且函數在此區間上的最小值為6，求此函數在區間[-7,-3]上的單調性以及最大值.

這個問題可以通過函數特征結合圖象來解答：

∵f(x)為奇函數,

∴f(x)的圖象關于原點O對稱.

∵f(x)在[3,7]上單調遞增，在此區間上最小值為6,

∴f(x)在[-7,-3]單調遞增，并且最大值為-6.

三、數形結合思想解決不等式問題

在不等式問題中運用數形結合思想來解答，可以避免復雜的分類討論，簡化題目，直接利用幾何圖形特點得出答案.

例題4 設有關于x的不等式|x-3|+|x-4|

解設函數f(x)=|x-3|+|x-4|，函數g(x)=a，在平面直角坐標系中作出函數f(x)和g(x)的圖象如下.

由函數f(x)和g(x)的圖象特征可得要使|x-3|+|x-4|

所以可得a的取值范圍為(-∞，1].

例題5設函數f(x)=x2-2ax+2， 并且x∈[-1，+∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.

對于此題有兩種解法：

解法1由當x∈[-1，+∞)時，f(x)≥a恒成立可得x2-2ax+2-a≥0在x∈[-1，+∞)時恒成立.

所以題目可以化為求a的取值范圍使得函數g(x)=x2-2ax+2-a的圖象在區間[-1,+∞)位于x軸上方.作出圖象，有如下兩種情況：

由圖象可得不等式的成立條件是:

(1)Δ=4a2-4(2-a)<0?a∈(-2,1).

綜上所述a的取值范圍是(-3,1).

解法2由f(x)≥a可得x2-2ax+2≥a即x2+2>a(2x+1).

設函數f(x)=x2+2，函數g(x)=a(2x+1)，作出函數f(x)和函數g(x)的圖象.

由函數圖象特征可得a的取值范圍為圖中直線斜率的取值范圍.

即a的取值范圍是(-3,1).

四、數形結合思想解決平面解析幾何問題

在高中數學中，平面解析幾何知識是運用到數形結合思想最廣泛的知識點，在直線斜率、直線與圓、直線與圓錐曲線等問題上，運用數形結合思想解題是最為簡捷的.

例題6 (直線斜率問題)直線l過點P(-1,2)，且與點A(-2，-3)、B(4，0)為端點的線段AB相交，求直線l的斜率的取值范圍.

在解這類題目時，先作出直線PA、PB，線段AB.

例題7 (直線與圓問題)設圓O的方程為x2+y2-2x+4y+4=0，直線l的方程為3x-4y+9=0，求圓O上的點P到直線l上的最大距離為多少.

在解這類問題時，運用數形結合思想能使問題得到迅速解決.

將圓的方程配方可得(x-1)2+(y+2)2=1，由此可得圓心O為(1，-2)，半徑r=1.

由直線與圓的圖形特征可得：圓到直線的最大距離=圓心到直線的距離+半徑.

圓心O到直線l的距離d=4.由上式可得點P到直線l的最大距離為d+r=4+1=5.

例題8(直線與圓錐曲線問題)設點P是拋物線y2=2x上的動點，F是此拋物線的焦點，設點A(3，2)，求|PA|+|PF|的最小值.

對于這個問題，先畫出拋物線和準線.

由拋物線的定義可得PF=PM，所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.

總而言之，數形結合思想在高中數學的學習中對學生是非常有幫助的，其在高中數學中的運用非常廣泛，比如在函數問題、不等式問題、平面解析幾何中都有非常廣泛的運用.運用數形結合思想來解這些題目可以非常簡捷迅速地得出答案.學生如果掌握和運用好了數形結合思想，就能更加輕松地學習數學，提高考試成績.所以，高中數學教師在日常的教學中要始終貫穿數形結合思想的教學，讓學生掌握好這一數學思想并且靈活地運用.