理想氣體狀態方程微分式及其應用

許冬保

(江西省九江第一中學 332000)

一、理想氣體狀態方程微分式

設某理想氣體在溫度為T時，壓強及體積分別為p、V.由克拉珀龍方程知pV=nRT，式中n為摩爾數，R為摩爾氣體常量.

假設氣體的質量不變(或n不變).對該式兩邊進行微分運算，可以得到d(pV)=nRdT，即pdV+Vdp=nRdT

下面對該式作些討論.

1. 查理定律微分式

2.蓋—呂薩克定律微分式

3.玻意耳定律微分式

4.體積功的微分式

假設氣體發生準靜態過程，且氣體的壓強保持不變，當體積變化dV時，因體積變化所對應的元功為dW=pdV.結合克拉珀龍方程微分式，得到dW=nRdT.

二、應用

1.水銀柱移動問題的分析

例1 如圖1所示，兩容器用水平細管相連，容器內裝有溫度均為T的同種理想氣體.若管中有一小段水銀柱將A、B兩部分氣體隔開，現使A、B同時升高溫度，若A升高到T+ΔTA，B升高到T+ΔTB，已知VA=2VB，欲使水銀柱向右移動，則 ( ).

C.ΔTA<ΔTBD.ΔTA>ΔTB

分析A、B兩部分氣體溫度升高時，兩部分氣體的體積不變，假設壓強的增加量分別為ΔpA、ΔpB.由查理定律的微分式，有

欲使水銀柱向右移動，則dpA>dpB，即dTA>dTB或ΔTA>ΔTB.選項D正確.

點評水銀柱移動問題涉及氣體壓強、體積和溫度三個量的變化，常用假設法進行分析.假設溫度變化時水銀柱不動，通過比較水銀柱兩側氣體壓強的增量，來判斷水銀柱移動的方向.或反過來由水銀柱移動方向來判斷溫度變化的情況.解題方法上也常選擇p-T圖像進行直觀分析.

例2 如圖2所示，三根粗細均勻的細玻璃管，中間均用一段水銀柱封住溫度相同的空氣柱，且V1=V2>V3，h1

A.丙管 B.甲管和乙管

C.乙管和丙管 D.三管上移一樣多

例3 如圖3所示，底部連通的均勻玻璃管a、b、c，上端封閉，原先三管中水銀面處在同一水平面上，如果再從底部緩慢注入稍許水銀，則三管中水銀面高度的情況為 ( ).

A.a中最高

B.b中最高

C.c中最高

D.一樣高

2.水銀柱注入問題的分析

例4 如圖5所示，長度為82cm的粗細均勻的直玻璃管，內有齊口2cm長水銀柱封閉一定質量的氣體，已知外界大氣壓強為76cm Hg.已知環境溫度不變，若從管口緩慢加入水銀，則能注入多長的水銀柱？

由玻意耳定律，有p1V1=p2V2.

代入已知數據，解得x=2cm(x=0，舍去)

點評由圖5可進一步討論：初態時，若管中空氣柱的長度小于或等于管內氣體的壓強，則無法注入水銀到管中，通過等溫線中斜率的分析可以比較方便地討論直玻璃管中水銀柱的注入問題.

注意當p2=V2時，得到x=1cm.其對應的物理意義是，該條件下的氣體溫度高于題述所給的環境溫度.

3.氣體做功問題的分析

例5 一定質量的某種理想氣體從狀態a開始，經歷等溫或等壓過程ab、bc、cd、da回到初始狀態，p-T圖像如圖6所示.其中對角線ac的延長線經過坐標原點O.以下結論正確的是( ).

A.在a、c兩狀態氣體的體積相等

B.在狀態c時氣體的內能等于它在狀態a時的內能

C.在過程da中氣體從外界吸收的熱量大于氣體對外界做的功

D.在過程cd中氣體向外界放出的熱量小于外界對氣體做的功

E.在過程bc中外界對氣體做的功等于在過程da中氣體對外界做的功

分析僅對選項E進行分析.由圖6可知：在過程bc中，壓強不變，由體積功的微分式，得dW=nRdT，即Wbc=nRΔT；同理，在過程da中，壓強不變，體積功為Wda=nRΔT.比較得到Wbc=Wda.選項ACE正確.

點評若由體積功的定義及玻意耳定律進行推導得到Wbc=Wda，過程煩瑣.本題應用微分式處理，輕松得到dW∝dT，有效地提高了思維品質.