解析構造法在高中數學解題中的運用

夏碧芳

(福建省福州第十一中學 350001)

構造法包括構造方程、構造方程、構造數列等諸多內容，難度較大，要想靈活運用并非易事.教學中，為學生講解構造法相關知識，使學生深入理解構造法，掌握構造法運用的注意事項.同時，精講、優選典型例題以及訓練題，使學生在聽課、訓練中，切實掌握構造法運用技巧，做到靈活運用.

一、構造方程的運用

解答部分高中數學試題時，經常需要構造一元二次方程，利用方程根與系數的關系以及Δ求解.為使學生能夠熟練地構造方程，教學中，一方面，為學生講解構造方程注意事項，即，要認真讀題，結合題干構建已知條件與方程的橋梁，而非盲目地構造.另一方面，優選例題，板書通過構造方程解題的步驟，使學生認真體會，加以充分地理解與吸收.

分析題干僅僅給出兩個等式，直接求解的難度較大，很多學生不知道如何下手.教學中可引導學生認真觀察兩個等式，找到兩個等式間的關系，通過構造方程解題.

解由16cosC+4sinB+tanA=0，可設4=t，則不難構造一元二次方程：(cosC)t2+(sinB)t+tanA=0.

Δ=sin2B-4cosCtanA,

又∵sin2B=4cosCtanA,∴Δ=0.

則關于t的一元二次方程有兩個相等實根，即，t1=t2=4.由根與系數的關系得：

二、構造函數的運用

構造函數在高考中較為常見，常用于解答大題中某一問，難度較大.教學中，一方面，為學生講解構造函數的技巧，如為兩個函數，常通過作差構造新的函數，而后利用導數知識進行討論.另一方面，優選有代表性的試題，對學生進行訓練，使學生在訓練中掌握構造函數解題的方法與步驟.

例2已知函數f(x)=x2+4x+2，g(x)=ex(2x+2)，若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

分析題干涉及兩個函數，且給出“f(x)≤kg(x)”，可考慮運用構造函數法解題.

解由已知條件，構造函數F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2.

則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).

由題設可知F(0)≥0且F(-2)≥0，

可得1≤k≤e2.

令F′(x)=0，解得x1=-lnk，x2=-2.

(1)當1≤k0.

可知在(-2，x1)上F(x)單調遞減，在(x1，+∞)上,F(x)單調遞增.因此在[-2，+∞)上最小值為F(x1)=-x1(x1+2)≥0.所以當x≥-2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.

(2)當k=e2時，則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，當x>-2時，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上單調遞增.而F(-2)=0，因此，當x≥-2時，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.

綜上可知k的取值范圍為[1，e2].

三、構造數列的運用

構造數列解答數學試題，對學生的要求進一步提高，教學中，為幫助學生樹立解題的自信，一方面，為學生講解等差、等比數列基礎知識，包括性質、通項公式、前n項和求解方法等，使學生打牢基礎.另一方面，構造數列難度較大，教學中應結合具體題目，對學生進行解題上的引導，使學生嘗到學習的成就感，自覺、認真掌握構造數列知識.

兩式相減得：

構造法雖是解答高中數學試題的有效方法，但其難度較大，教學中應注重教學研究，運用一定策略，使學生更好地掌握.一方面，教學中仍應將數學基礎知識傳授作為教學重點，而后再進行構造法知識的滲透.另一方面，為學生講解各構造法的具體應用，鼓勵學生認真反思，把握應用構造法的關鍵點，遇到類似數學試題能夠迅速找到突破口.