隱函數(shù)求導(dǎo)的研究

崔 楠 朱德馨

(1.寧夏北方民族大學(xué)基礎(chǔ)教育學(xué)院 750021;2.寧夏北方民族大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 750021)

一、引言

很多實(shí)際問題都是函數(shù)問題，大部分都是一些微分知識(shí)，通過對(duì)本課題的研究，可以加深我們對(duì)微分學(xué)的認(rèn)識(shí)與理解.一般的函數(shù)都是用自變量表達(dá)因變量，自變量和因變量是完全獨(dú)立可以互相表示的，這些都叫做顯函數(shù).然而在解決很多現(xiàn)實(shí)問題的時(shí)候，各個(gè)變量之間的關(guān)系不能獨(dú)立表示，而是相互影響，并且依靠幾個(gè)方程式才能確定的，這樣的函數(shù)通常稱為隱函數(shù).在工程實(shí)際問題中，隱函數(shù)的研究為其解決了很多問題，一旦需要求解這些函數(shù)方程的極值、優(yōu)化等問題，就需要對(duì)其求導(dǎo)，這就引出了隱函數(shù)的求導(dǎo)問題.關(guān)于隱函數(shù)的求導(dǎo)理論，前人也做了很多相關(guān)研究，提出了一系列的隱函數(shù)求解方法.

二、隱函數(shù)的相關(guān)理論

1.隱函數(shù)的定義

設(shè)X?R,Y?R,函數(shù)F:X×Y→R.對(duì)于方程F(x,y)=0(1)，若存在集合I?X與J?Y對(duì)于任何x∈I,恒有唯一確定的y∈J,在J中的任何y值都可以和x滿足上述方程，它與x一起滿足方程(1),因此就可以確定一個(gè)隱函數(shù)，這個(gè)函數(shù)定義域?yàn)镮，值域?yàn)镴.隱函數(shù)的主要特點(diǎn)就是自變量和因變量不能分開，而是結(jié)合在一起，這樣根據(jù)一般的求導(dǎo)法則就無法進(jìn)行求導(dǎo)，因此，需要借助新的思想進(jìn)行解題.

2.隱函數(shù)的可導(dǎo)條件

隱函數(shù)的可導(dǎo)條件主要有三個(gè)，第一個(gè)就是該函數(shù)在某一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，第二個(gè)是該函數(shù)必須存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，第三個(gè)就是在該點(diǎn)處的y偏導(dǎo)數(shù)不能為零.

二、 隱函數(shù)在幾何方面的應(yīng)用

1.平面曲線的切線與法線

設(shè)平面曲線由方程給出,該方程組在點(diǎn)P0(x0,y0)的任意某鄰域內(nèi)符合隱函數(shù)的存在條件,從而該曲線在點(diǎn)P0處存在切線和法線,其表達(dá)式就可以用點(diǎn)斜式表示，然后結(jié)合隱函數(shù)的求導(dǎo)公式解出切線和法線方程.根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)，可以分別求解出在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，包括x方向和y方向的，根據(jù)求得的方向向量就可以找出切線的平面和平面的切線，前者導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，而后者就是導(dǎo)數(shù)的垂直面，總之，根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)，可以求解二維圖形的位置關(guān)系和規(guī)律，解決生活中的很多問題，真正的把數(shù)學(xué)運(yùn)用到實(shí)際當(dāng)中.

2.曲面的切平面和法線

3.在曲線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

在曲線設(shè)計(jì)中，通過對(duì)隱函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可以找出曲線中的最優(yōu)點(diǎn).在實(shí)際生活中也經(jīng)常見到，在曲線跑道中，如何發(fā)現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)曲線的距離最短，就是最佳路徑問題.

問題：在一條平面二次曲線L上A、B點(diǎn)作曲線的兩條切線AC和BC,證明直線CP在曲線L上點(diǎn)P處的法線上,其中點(diǎn)P為點(diǎn)C到曲線的最近點(diǎn).

求解：首先假設(shè)AB、AC和BC的直線方程為：

AB：l(x,y)=ax+by+c=0，

AC:l1(x,y)=a1x+b1y+c1=0，

BC:l2(x,y)=a2x+b2y+c2=0.

由題意得：

l(A)=l(B)=l1(A)=l2(B)=0.

令F(x,y)=μl1(x,y)l2(x,y)+(1-μ)l2(x,y)(μ≠0),

上式就是曲線L的方程.曲線L在A處的法向量可以表示為：

可以推出曲線方程為：

F(x,y)=μl1μl1(x,y)l2(x,y)+(1-μ)l2(x,y)=0.

設(shè)P(x,y)為點(diǎn)C到曲線L最近的點(diǎn)，因此，可以得出P不僅滿足曲線方程，還是距離最小的點(diǎn).可以構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

Φ(x,y)=(x-x0)2+(y-y0)2+λF(x,y),

同時(shí)對(duì)x和y進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)，可以得出CP在法線上，即可求證.

三、結(jié)束語

眾所周知，隱函數(shù)求導(dǎo)是解微分方程的基礎(chǔ)，特別是偏微分方程，同時(shí)，在實(shí)際工程中，很多問題中的自變量和因變量不會(huì)完全分離，二者之間都會(huì)存在一些這樣那樣的關(guān)系，所以，只有借助隱函數(shù)求導(dǎo)，才能解決這種實(shí)際問題.隱函數(shù)的求導(dǎo)可以把常規(guī)函數(shù)的作用都能發(fā)揮出來，包括極值、優(yōu)化，拓寬了隱函數(shù)的應(yīng)用范圍，更能探索函數(shù)存在的規(guī)律.所以在實(shí)際工程中，很多問題中的自變量和因變量不會(huì)完全分離，二者之間都會(huì)存在一些這樣那樣的關(guān)系，面對(duì)這種問題，直接求導(dǎo)是不可能的，但是又不能不求導(dǎo)，因?yàn)橹挥星髮?dǎo)數(shù)，才能發(fā)現(xiàn)該房產(chǎn)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)問題，所以，只有借助隱函數(shù)求導(dǎo)，才能解決這種實(shí)際問題，特別是工程問題，很多復(fù)雜的工程問題都是微分方程，借助隱函數(shù)求導(dǎo)的理論，大大促進(jìn)了我國工業(yè)的發(fā)展.本文簡單論述了隱函數(shù)在各方面的運(yùn)用，對(duì)于隱函數(shù)的進(jìn)一步研究和應(yīng)用于具體的工程實(shí)際打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，隱函數(shù)的出現(xiàn)，可以為解決很多實(shí)際問題提供了有利的工具.