外接球求解的一招二式

趙鈞銳

(河南省民權縣高級中學高二29班 476800)

有關多面體外接球的問題在高考試題中屢見不鮮,而問題實質就是求球半徑R或確定球心O的位置問題.本文通過近年來積累的部分試題中外接球的問題,談外接球求解的一招二式.

一、一招——嵌于長方體

二、二式之一——小圓法

眾所周知，圓有垂徑定理，而球亦有類似性質，如圖，利用球心O與截面圓圓心O′的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質,確定球心位置.此法是運用OO′⊥⊙O′,而⊙O′是球的小圓，所以稱此法為小圓法.

故選D．

評注利用解小圓法求幾何體外接球的半徑，是一種明了、行之有效的方法，解題的第一件事就是要找到球心O的位置.要找球心O的位置，沒有固定的規律，要結合幾何體的特征，發揮自己的空間想象力分析.找到球心O的位置后，再確定底面圓的圓心D位置，如何表示出球心O到截面圓圓心D的距離，這個是難點，要結合幾何圖形分析.

三、二式之二——坐標法

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為O(x,y,z) ，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長. 坐標的引入，使外接球問題的求解從煩瑣的定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度.

例3 如圖小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為( ).

解由三視圖可知，該幾何體為如圖4所示的四棱錐S-ABCD，其中四邊形ABCD為矩形.

如圖5，建立空間直角坐標系，則A(2,2,1),B(0,2,1),S(0,0,2).設球心O的坐標為(x,y,z)，則OS=OA,OS=OB,OS=OC,得到方程組

故選C．

評注由這個例子可以看出，對于規則和不規則的幾何體外接球問題，通過設球心坐標解方程組的方法，不僅可以確定球心位置，也可以確定球半徑，大大降低了思維難度，提高了做題的準確性.