放縮法證數列型不等式要“放縮得當”

葉文明 李 陽

(浙江省松陽二中 323406)

高考數學中，出現利用放縮法證明數列型的不等式，多以壓軸題形式出現，需要綜合利用相關知識與方法來解決問題.此類題型綜合性強、形式復雜、運算要求高，能很好地考查考生的思維邏輯與處理信息的能力.在解題過程中，若能根據基本類型與結構特點，迅速找到方向，可取得事半功倍的效果.數列型不等式的放縮一般要借助不等式的性質、函數的單調性等進行放縮.

例(麗水2017學年期末監控)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=an+2n+1,{bn}是正項數列，且bn是an和an+2的等比中項.

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;

解(1)由累加法及已知條件易得an=n2,bn=n2+n.

點評失敗，失敗原因是放縮過度，放得太大.

點評成功，放縮得當，命題得證.

解法四根據解法三可知，在解法三的基礎上放得更小一點顯然也能解決問題，如：

①當n=1和2時，不等式顯然成立；

點評利用了對數函數的泰勒展開式，且2的自然對數值大于三分之二，將不等式進行放縮，使放縮結果趨近答案.

評析1.利用基本不等式進行放縮：①放縮應有“度”,不能太大，又不能太小；②要根據所證明的不等式的結構來選擇所需的放縮方法;③放縮法有時需要多試驗幾次才能成功.

2.先求和再放縮：要先利用數列求和的方法求出數列的和，然后進行放縮；一般可利用裂項相消等方法進行求和，然后利用添減項的方法放縮.

3.先放縮再求和：可注意利用逐項進行放縮的方法，構造一個可求和的新數列，然后對這個新數列進行求和，構造的這個新數列可以為等比(差)數列，利用求和公式與裂項相消、分組求和等方法結合進行求和，然后利用添減項的方法放縮.

4.逐層遞推放縮：這種方法要注意建立起相鄰兩項的相等或不等關系，利用逐層遞推探求各項與首項之間的關系，從而可以建立一個新的數列.