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——“復數”高考考點題型歸類析與練

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

復數是高考的熱點內容，以選擇、填空的形式出現，題目難度不大.通過對復數歷年高考試題的研究，發現考點題型有以下幾個方面，供同學們在復習時參考.

一、復數的概念問題

例1(2016全國Ι卷，文2)設(1+2i)(a+i)的實部與虛部相等，其中a為實數，則a=( ).

A.-3 B.-2 C.2 D.3

解析原式=(a-2)+(2a+1)i，由已知得a-2=2a+1，解得a=-3，故選A.

點評本題考查復數的實部和虛部的概念.解此類題的關鍵是先把原式變形為a+bi(a、b∈R),然后再根據復數的相關概念來求解.

跟蹤練習1 (2016江蘇，理2文2)復數z=(1+2i)(3-i)，其中i為虛數單位，則z的實部是____.

(答案：5)

二、復數的相等問題

例2 (2015全國Ⅱ卷，理2)若a為實數，且(2+ai)(a-2i)=-4i，則a=( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

點評解本題的關鍵是先將(2+ai)(a-2i)進行運算，變形為a+bi(a、b∈R)的形式，然后根據復數相等的條件列出關于a的方程即可.

(答案：2)

三、求復數或共軛復數的問題

A. -1+2i B. 1-2i C. 3+2i D. 3-2i

跟蹤練習3 (2015全國Ⅰ卷，文3)已知復數z滿足(z-1)i=1+i，則z=( ).

A.-2-i B.-2+i C. 2-i D. 2+i

(答案：C)

四、求復數模的問題

例4 (2016全國Ⅰ卷，理2)設(1+i)x=1+yi，其中x,y是實數，則|x+yi|=( ).

點評解本題的關鍵是根據復數相等的條件列出關于x,y的方程組，求出x,y的值，然后再利用求復數模的公式計算即可.

(答案：A)

五、點的位置問題

例5 (2016全國Ⅱ卷理1)已知z=(m+3)+(m-1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是( ).

A.(-3,1) B.(-1,3)

點評解本題的關鍵是先把復數化為a+bi(a、b∈R)的形式，再根據點所在的象限，列出不等式組求出實數m的取值范圍.

跟蹤練習5 (2016北京，理9)設a∈R，若復數(1+i)(a+i)在復平面內對應的點位于實軸上，則a=____.

(答案：-1)

六、復數的運算問題

A.1 B.-1 C. i D.- i

A. i B.1+ i C. -i D. 1-i

(答案：A)

七、復數的一元二次方程求根問題

A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3

C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1

點評本題主要考查的是實系數方程根的性質及根與系數的關系、實系數方程的虛根成對，難度不大.

跟蹤練習7 (2012湖北，理1)方程x2+6x+13=0的一根是( ).

A.-3+2i B.3+2i C.-2+3i D.2+3i

(答案：A)

八、復數與其它知識的綜合

例8 (2015陜西，理11)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為( ).

點評本題將復數與幾何概型交匯，考查數形結合的思想.解決本題的關鍵是準確畫圖,根據圖形容易看出面積關系，還省去了求∠OBA，直觀看出其大小為90°.

跟蹤練習8 (2014浙江，理2)已知i是虛數單位，a,b∈R，則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( ).

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件

(答案：A)