峰回路轉(zhuǎn)難有因 順藤摸瓜終得果
——對(duì)2018年高考(Ⅱ)壓軸題的解法剖析

袁 琳

(甘肅省通渭縣第二中學(xué) 743300)

一、例題及解析

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

1.高考標(biāo)準(zhǔn)答案的解題過程

(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥1等價(jià)于(x2+1)e-x-1≤0，

設(shè)g(x)=(x2+1)e-x-1，則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x，

當(dāng)x≠1時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)在[0,+)上單調(diào)遞減，而g(0)=0，故當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)≤0，即f(x)≥1.

(2)設(shè)函數(shù)h(x)=1-ax2e-x，

f(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+)只有一個(gè)零點(diǎn)，

①當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒有零點(diǎn)，

②當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)=ax(x-2)e-x，

當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0；當(dāng)x∈(2,+)時(shí)，h′(x)>0，

故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,+)有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上，f(x)在(0,+)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

2.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)解答的兩點(diǎn)質(zhì)疑

(1)親臨考場(chǎng)，考生對(duì)“巧的變形”能否想到？一般地，當(dāng)給定的條件式較復(fù)雜或未知時(shí)，易想到化歸與轉(zhuǎn)化思想，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化未知為已知.此題條件式從結(jié)構(gòu)與形式上，已很簡(jiǎn)化、明了，而標(biāo)準(zhǔn)答案的變形式比原式的更復(fù)雜，或許考生對(duì)此變形難有突破.

(2)解答(1)與(2)的思維能否有效地銜接上？標(biāo)準(zhǔn)答案的(1)與(2)的解題均以“先變后建”為入口，如果(1)的解答不按標(biāo)準(zhǔn)答案來解答，那么(2)的解答更難與標(biāo)準(zhǔn)答案來對(duì)接了.筆者對(duì)該題做了深入鉆研，提出以下常規(guī)解法：

①當(dāng)a=1時(shí)，不妨設(shè)g(x)=ex-2x，則g′(x)=ex-2.

∵在[0,ln2)上，g′(x)<0，在(ln2,+)上，g′(x)>0，

∴g(x)在[0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+)上單調(diào)遞增，

∴g(x)≥g(ln2)=2(1-ln2)>0，即f′(x)>0，∴f(x)在[0,+)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(0)=1，即f(x)≥1.

②f′(x)=ex-2ax，令g(x)=ex-2ax，則g′(x)=ex-2a.

(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)>0，∴g(x)在(0,+)是單調(diào)遞增，

∴g(x)>g(0)=1，即f′(x)>0，∴f(x)在(0,+)是單調(diào)遞增，

∴f(x)>f(0)=1>0，故函數(shù)f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn)，不合題意.

(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)，令g′(x)=0，則x=ln2a.

且若x→0，則g(x)→1；若x→+，則g(x)→+.

不妨設(shè)x1,x2是方程g(x)=0的兩實(shí)數(shù)根，

則在(0,x1)上g(x)>0；在(x1,x2)上g(x)<0；在(x2,+)上g(x)>0，

∴f(x)在(0,x1)是單調(diào)遞增；f(x)在(x1,x2)是單調(diào)遞減；f(x)在(x2,+)是單調(diào)遞增.∵f(0)=1，∴f(x)的零點(diǎn)只有在x2處取得，令①

又g(x)=ex2-2ax2=0 ②

二、以零點(diǎn)的概念為據(jù)對(duì)(2)做進(jìn)一步的探究

1.分離參變量法

令f(x)=0，則ex-ax2=0，∵x∈(0,+)，令(0,+)，則在(0,2)，h′(x)<0；在(2,+)，h′(x)>0，∴h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；在(2,+)上單調(diào)遞增，又若x→0，則h(x)→+；若x→+，則h(x)→+.事實(shí)上，當(dāng)x→0時(shí)，的結(jié)構(gòu)型，顯然h(x)→+；而當(dāng)x→+時(shí)，的結(jié)構(gòu)型，根據(jù)教材中所學(xué)知識(shí)：當(dāng)x為較大值時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ex的增長(zhǎng)遠(yuǎn)比y=x2的增長(zhǎng)大，得知.

2.數(shù)形結(jié)合法

令f(x)=0，則ex=ax2.

令t(x)=ex,x∈(0,+),k(x)=ax2,x∈(0,+).

在同一直角坐標(biāo)系下，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象：

1.當(dāng)a=0時(shí)，如圖1，因兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，故f(x)沒零點(diǎn)，不合題意.

2.當(dāng)a<0時(shí)，如圖2，因兩個(gè)圖象沒有交點(diǎn)，故f(x)沒有零點(diǎn)，不合題意.

3.當(dāng)a>0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有0、1、2三種情況，而依題只需1個(gè)交點(diǎn)，從而兩個(gè)函數(shù)圖象如圖3.

依題可得：曲線t(x)=ex與k(x)=ax2在x=x0處的切線是同一直線，故ex0=2ax0②.