對一道高考題的追源與思考

趙彥青

(河北省張家口市尚義縣第一中學 076750)

一、再現考題

2019年全國高考數學理科二卷第21題如下：

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形.

二、考題在考卷，根源在課本

2019年全國高考數學理科二卷第21題第1問與課本例題基本相同，僅僅是數據不同.

例如：普通高中課程標準實驗教科書人教版數學選修2-1(第二章圓錐曲線與方程第2.2節橢圓)第41頁的例3如下：

同上教材第80頁復習參考題A組第10題如下：

已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為(-5,0)，(5,0)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)，試探求頂點C的軌跡.

三、來源于探究，但又高于教材

從課本例3我們可得到一個一般性逆向的問題.

AB是橢圓的長軸也叫橢圓的直徑(類比圓的弦和直徑，我們把橢圓上任意兩點間的線段叫做弦，經過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑)

進一步探究對于橢圓的任意一條直徑都有這樣的性質，結論如下：

這里用到我們常用的點差法，老師們還可以選用其它方法證明.

四、運用性質簡化2019高考題

下面我們用這一性質來簡解第2問的第(ⅰ)小問.

故PG⊥PQ.所以△PQG是直角三角形.

五、高考再現

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意的k>0，求證：PA⊥PB.

解(1)與(2)略

延伸1進一步探究

直徑是經過橢圓中心的特殊的弦，上述斜率積為定值的性質是否是非直徑莫屬呢？也就是說，經過其它定點的非直徑的弦是否也有此性質呢？下面我們來探討這個問題，為此先來研究特殊點(橢圓與x軸的交點)A與過定點P的非直徑的弦MN的兩端點所成兩條直線的斜率積是否為定值.

探究因為點M,N是過點P(n,0)的直線，故設其方程為x=my+n(可以避免討論斜率的存在問題)，將其代入橢圓方程整理得(m2b2+a2)y2+2mnb2y+b2(n2-a2)=0.

因為點M,N在直線x=my+n上，所以x1=my1+n，x2=my2+n.

于是(x1+a)(x2+a)=(my1+n+a)(my2+n+a)

=m2y1y2+m(n+a)(y1+y2)+(n+a)2,

結論橢圓直徑的性質是其它非直徑的弦所不具有的，是橢圓的本質屬性.類比思想對于雙曲線，也有類似的性質(證明時只需要將b2換成-b2即可)

延伸2再次深入探究

反思探究延伸2的逆是否成立呢？

解析A,B兩點關于原點對稱?過點A,B的直線方程為y=kx+m,m=0.

設直線AB的方程為y=kx+m,

設A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0),

顯然當點P不在直線AB上時，m=0.

所以直線AB的方程為：y=kx，從而A、B兩點關于原點對稱.

我們繼續研究發現:

證明設直線AB的方程為x=my+n.

所以(n-my0-x0)a2(y-y0)2+2(a2y0-mb2x0)(x-x0)(y-y0)+(n+my0+x0)b2(x-x0)2=0.

將上式兩邊同時除以(x-x0)2得

設A(x1,y1)、B(x2,y2)，顯然它們滿足上述方程，由已知條件及根與系數關系得

所以直線AB方程為

通過對此例的教學研究，激發了學生探究數學的興趣和熱情.一道課本例題的探究竟引出了這么多的變式和通過變式的再反思，又得到多個結論，讓我們感覺課本的例題值得挖掘，而且大有挖掘的素材.數學家希爾伯特曾說過“數學問題的寶藏是無窮無盡的，一個問題的一旦解決，無數新的問題就會代之而起”.平時教學中教師應以數學知識為載體，以數學方法為核心，以提高學生能力和素質為目的.讓學生在不斷發現問題，提出問題，解決問題過程中，潛移默化地學會數學的方法，提高數學素養，學會數學的思考.