對一道高考函數壓軸題的思路分析與推廣

紀定春

(四川省成都市四川師范大學數學科學學院 610068)

一、試題呈現與評注

試題呈現(2010全國數學新課標理科卷第21題)設函數f(x)=ex-1-x-ax2．

(1)若a=0，求f(x)的單調區間；

(2)若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍．

評注該試題結構簡單、形式優美，蘊含豐富的知識考點．試題的解決思路寬廣，可以為不同學習水平的學生提供更好的方法選擇．試題具有高等數學中麥克勞林展開式的背景知識，同時也具有競賽數學中的重要不等式(對數不等式)的身影．在解決方法上可以使用高等數學的知識(洛必達法則)，同時可以使用高中數學中導數的定義來解決．因此，該試題具有豐富的內涵和多樣的解答方案，是一個值得研究的好試題．同類型的試題還有很多，如2013年全國新課標卷2理科21題；2018年新課標卷1第21題；2018年廣東省二模考試卷第12題；2018年百校示范卷(二)第21題等.這些試題都與該試題有較高的關聯性，因此，對該試題的思路探究是有價值的．由于問題(1)較為簡單，此處重點對問題(2)進行思路分析和推廣．

二、問題(2)的思路探究

1.直接法

思路分析最直接的方式，就是將題干中的語言文字翻譯成數學符號，然后利用導數來研究函數的最值或極值，此處需要求出f(x)的最小值都要等于零．

解析當x≥0時f(x)≥0，等價于f(x)=ex-1-x-ax2≥0，對任意的x≥0恒成立．對f(x)求導，可得f′(x)=ex-1-2ax，顯然有f′(0)=0且f(0)=0．

因為g(x)=ex-1-x當x≥0時大于等于零恒成立，當且僅當x=0，g(x)=0．而f′(0)=0，得2a=1．當2a=1時，有f′(x)≥0成立．需要2a≤1，即a∈(-,就有f(x)≥0．所以a的取值范圍為(-,

評注該方法充分地利用了重要不等式ex-1-x≥0，可以得出2a≤1．

2.換元構造導數定義法

思路分析該問題是一個恒成立問題，此處參數a分布簡單，容易分離參數a，故可考慮分離參數．除了分離參數法，還可以移項變成恒成立問題，然后利用導數研究單調性和極值點，此處僅考慮分離參數法．

故a的取值范圍為(-,

評注由此可見，對于分母為一個非一次單項式且極限為0時，通過換元法將高次的單項式變換為一次單項式，然后利用導數的定義來求解．同類型的試題還有，此處不再列出．

3.直接構造導數定義法

令函數m(x)=ex-1-x，n(x)=x2．

令函數p(x)=ex，顯然p(0)=1．

故a的取值范圍為(-,

評注上述解法體現的是導數與洛必達法則之間的聯系，高考中可以通過導數的定義來推導洛必達法則，這樣就可以避免方法超前．

4.重要不等式法

思路分析對數不等式是一種重要的不等式，是高考數學中解決不等式問題的常用方法．證明方法較為簡單，可以通過構造函數，然后利用導數來證明不等式恒成立．此處要證明函數f(x)=ex-1-x-ax2，當x≥0時有f(x)≥0成立，需要求a的取值范圍．顯然此處可以使用分離參數的方式，但是需要對自變量x進行分類討論．

解析當x=0時，顯然有f(x)=0，故f(x)≥0成立，此時有a∈R．

5.洛必達法則

思路分析分離參數之后，顯然當中x→0時(x趨于0時)，該分式的分子和分母的極限值都是零，因此可以考慮使用洛必達法則．

所以a的取值范圍為(-,

評注可見，洛必達法則可以通過導數的定義來推導，這是一種更加高級的運算方式，但在使用洛必達法則時，一定要清楚使用的條件，而不是盲目的亂套公式．

6.等價替換法

故a的取值范圍為(-,

評注該方法是巧妙的運用了等價無窮小的知識，然后將截取的最高項次數控制為2，后面剩余項是關于的x無窮小量，故極限值為0．

三、問題的推廣

問題是數學的心臟．好的數學問題、習題或試題，對培養學生的數學思維是有益的．好的數學問題是思路開闊和方法多樣的問題，好的數學試題是可以推廣的試題．接下來，將對原問題的問題(Ⅱ)進行推廣，使其在更大的范圍內也適用．

推廣1若對任意x∈(-,+)，恒成立，求實數k的取值范圍．

推廣2若對任意x∈(-,+)，恒成立，求實數k的取值范圍．

推廣3若對任意x∈(0,+)，若不等式xex≥1+kx+lnx恒成立，求實數k的取值范圍．

提示用xex=elnx·ex=ex+lnx≥1+x+lnx，當且僅當x+lnx=0時，等號成立．

推廣4若對任意x∈(0,+)，若不等式xenx≥1+kx+lnx恒成立，求實數k的取值范圍．

提示解決方法，同推廣4．當且僅當nx+lnx=0時，等號成立．

推廣5若對任意x∈(0,+)，若不等式xmex≥1+2kx+mlnx恒成立，求實數k的取值范圍．

提示解決方法，同推廣3．當且僅當x+mlnx=0時，等號成立．

推廣6若對任意x∈(0,+)，若不等式xmenx≥1+kx+mlnx恒成立，求實數k的取值范圍．

提示解決方法，將推廣4、5結合起來． 當且僅當nx+mlnx=0時，等號成立．

以上推廣，除了推廣2較難以外，可根據學生的情況，將上述推廣內容納入課堂教學．