一道高考壓軸選擇題的多維賞析

周 春

(江蘇省揚州中學 225009)

2017年高考全國卷Ⅰ選擇題的最后一題(第21題)考查了高中物理一個常見的問題——動態平衡問題，但是，其解法并非都很常見，下面從多個維度對此題進行賞析.

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

解析由題意可知，重物在變化過程中受重力G、繩MN拉力TMN、繩OM拉力TOM，在某一時刻受力分析示意圖如圖2所示.

解法1 正交分解法

以M為原點，沿水平方向建立x軸，沿豎直方向建立y軸，如圖3所示，設繩OM由豎直逆時針轉過φ，則此時繩MN與x軸夾角為φ+90°-α(此式為負值時表示MN在x軸下方)，根據平衡條件得

TOMsinφ=TMNcos(φ+90°-α)，

TOMcosφ+TMNsin(φ+90°-α)=G.

由于G和α均保持不變，而在OM由豎直被拉到水平的過程中，φ由0°緩慢增大至90°，故TMN由零逐漸增大.α-φ逐漸減小，且由鈍角逐漸減小為直角再減小為銳角，故TOM先增大后減小(當α-φ=90°時，TOM最大).故選AD.

解法2 正弦定理法

將圖2三個力平移為矢量三角形，并設力的矢量三角形的內角如圖4所示.由正弦定理得

由于重力G的大小、方向均不變，兩繩的夾角α不變，而圖4中β=π-α，則β角也不變，故裝置在逆時針緩慢轉動過程中，上式比值為一定值.由題意得，γ由0°逐漸增大至90°，故TMN逐漸增大.又θ=α-γ，故θ逐漸減小，且由鈍角逐漸減小為直角再減小為銳角，故TOM先增大后減小(當θ=90°時，TOM最大).

解法3 輔助圓法

根據圓的性質可知，同一條弦對應的圓周角相等.而裝置在逆時針緩慢轉動過程中，由解法2分析可知，圖4中G和β始終保持不變，故可以反推，圖4中TMN、TOM連接點的運動軌跡必定是圓，且此圓即由TMN、TOM、G所構成的矢量三角形的外接圓，如圖5所示(實線為末狀態).初始狀態，TMN=0，TOM=G.由圖5可以直觀看出，把整個裝置逆時針緩慢轉過90°的過程中，TMN從0逐漸變為直徑，故TMN逐漸增大，TOM先從弦變為直徑再變為弦，故TOM先增大后減小.

解法4 等效法

題中“將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變.在OM由豎直被拉到水平的過程中”，可等效為“整個裝置不動，把重力方向順時針緩慢轉過90°(重力大小不變)的過程中”，這樣由“兩個力方向在改變”轉化為“只有一個力方向在改變”，問題得到了大大簡化.顯然，等效后的重力G矢量的箭頭端的變化軌跡是以重力G的箭尾端為圓心、以重力G大小為半徑的圓，作出TMN、TOM、G所構成的矢量三角形動態變化示意圖如圖6所示(實線為末狀態).由于重力G的大小和β是定值，故由圖6可以看出，在G順時針緩慢轉過90°的過程中，TMN逐漸增大，TOM先增大后減小(當G與TMN垂直時，TOM最大).

評析這是一道三力動態平衡問題，由于有兩個力的方向同時在變化，而常用的合成分解法、相似三角形法等解法很難奏效，不少考生感覺難度較大，短時間內甚至束手無策，因此需要另辟蹊徑.以上探討了四種解法，從數學角度看，前兩種解法屬于代數法，后兩種解法屬于幾何法，從解法1到解法4基本上越來越簡便，而對于選擇題這類“小題”，在考試時盡量不要“大做”，我們應倡導考生更善于應用后兩種幾何方法求解.

母題如圖7所示裝置，OQ桿豎直，OP桿水平，AC、BC兩根輕繩拉住一球，其中AC繩水平.現保持兩細繩間的夾角不變，若把整個裝置順時針緩慢轉過90°，則在轉動過程中，設AC繩的拉力為F1，BC繩的拉力為F2，下列說法中正確的是( )

A.F1先減小后增大 B.F1先增大后減小

C.F2逐漸減小 D.F2逐漸增大

啟示上述母題是平時教學中曾經出現過但又不很常見的一道老題目，用前面四種解法均可解出答案為BC.顯而易見，本高考題來源于上述母題，兩題十分相似.因此，在平時的復習備考中，考生應全面夯實基礎，努力提高分析問題、解決問題的能力，全方位掌握各種題型及其解法，既要對常見題型爛熟于心，也要對非常見題型刻骨銘心，這樣應對高考時方能游刃有余.