構(gòu)造多維阿基米德Copula生成元的方法

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院 甘肅 蘭州 730000)

一、引言

阿基米德Copula作為Copula函數(shù)類(lèi)的一種特殊Copula，阿基米德Copula由于構(gòu)造方便、計(jì)算簡(jiǎn)單，且有很多良好的性質(zhì)在許多領(lǐng)域尤其是金融領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.目前對(duì)于阿基米德Copula的研究已經(jīng)有了很多成果，阿基米德Copula是由生成元構(gòu)成的copula，生成元是一種單調(diào)遞減的凸函數(shù).有了生成元就可以構(gòu)造出阿基米德Copula.文獻(xiàn)[3]中提出了構(gòu)造阿基米德Copula生成元的常見(jiàn)方法：拉普拉斯變換法.之后在文獻(xiàn)[6]中提出了利用可導(dǎo)的條件構(gòu)造生成元的方法，在文獻(xiàn)[7]中對(duì)于阿基米德Copula的生成方法也從加法推廣到乘法，文獻(xiàn)[4]則將構(gòu)造方法不再局限于概率密度函數(shù)而是拓展到實(shí)數(shù)范圍.李霞將這些對(duì)于阿基米德Copula的研究成果都編繪進(jìn)文獻(xiàn)[5]中，基于以上研究，本文由單一參數(shù)推廣到多參數(shù)構(gòu)造生成元的方法進(jìn)行了研究，提出了多維阿基米德Copula生成元的構(gòu)造方法.

二、預(yù)備知識(shí)

(一)阿基米德Copula函數(shù)定義

定義1[2]：設(shè)φ是[0,1]→[0,∞]上的連續(xù)的、嚴(yán)格降的凸函數(shù)，且φ(1)=0，則φ的偽逆φ[-1]是[0,∞]→[0,1]上的函數(shù)，且

則具有C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))形式的Copula稱(chēng)為阿基米德Copula，φ稱(chēng)為Copula函數(shù)的生成元.如果φ(0)=∞，則稱(chēng)φ為嚴(yán)格的生成元.此時(shí)，φ[-1]=φ-1，C(u,v)=φ-1(φ(u)+φ(v))稱(chēng)為嚴(yán)格的阿基米德Copula函數(shù).

(二)阿基米德Copula生成元的常用構(gòu)造方法

三、二維阿基米德Copula生成元的構(gòu)造方法

目前對(duì)于構(gòu)造阿基米德Copula生成元主要從變換和函數(shù)角度進(jìn)行研究，本文將從維數(shù)角度去考慮構(gòu)造生成元，首先討論在二維的條件下構(gòu)造阿基米德Copula生成元.

證明：若要驗(yàn)證φ-1(s)為阿基米德Copula生成元，需要φ-1(s)滿(mǎn)足阿基米德Copula生成元的幾個(gè)條件，其中需要φ-1(1)=0，φ-1(s)是連續(xù)的、嚴(yán)格遞減、凸函數(shù).

(2)φ(s)由表達(dá)式顯然連續(xù)，則φ-1(s)也連續(xù)；

(4)已知φ-1為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)φ為凸函數(shù)，所以只需證明φ為凸函數(shù).

由上可知φ(s)是凸函數(shù)，則φ-1(s)為凸函數(shù)，又因?yàn)棣?∞)=0，則φ-1(0)=∞，即可證明φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula的生成元.

例1：設(shè)二維獨(dú)立隨機(jī)變量(α,β)具有密度函數(shù)f(α,β)=e-(α+β)，其中α,β≥0，則對(duì)密度函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯變換

以上被積函數(shù)中的f(α,β)是密度函數(shù)，比較特殊，當(dāng)f(α,β)不再是密度函數(shù)而是定義在R+×R+上非負(fù)連續(xù)函數(shù)時(shí)，以下定理能被得出.

證明：此定理的證明和定理1的證明步驟相同，則著重證明φ-1為凸函數(shù).

由上已知φ-1為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)φ為凸函數(shù)，所以只需證明φ為凸函數(shù).

所以φ(s)是凸函數(shù)，則φ-1(s)為凸函數(shù)，又因?yàn)棣?∞)=0，則φ-1(0)=∞，即可證明φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula的生成元.

四、多維阿基米德Copula生成元的構(gòu)造方法

通過(guò)討論二維阿基米德Copula生成元的構(gòu)造方法，我們可以推廣到多維上來(lái)構(gòu)造生成元，這樣擴(kuò)大了阿基米德Copula生成元的生成條件，有利于阿基米德Copula函數(shù)的應(yīng)用在實(shí)際中.下面給出了多維非負(fù)連續(xù)函數(shù)構(gòu)造生成元的方法.

證明：

(2)φ(s)由表達(dá)式顯然連續(xù)，則φ-1(s)也連續(xù)；

(3)φ′(s)=

e-(θ1+θ2+…+θn)[λs1+(1-λ)s2]≤λe-(θ1+θ2+…+θn)s1+(1-λ)e-(θ1+θ2+…+θn)s2

則

所以φ(s)是凸函數(shù)，則φ-1(s)為凸函數(shù)，又因?yàn)棣?∞)=0，則φ-1(0)=∞，即可證明φ-1(s)是一個(gè)嚴(yán)格的阿基米德Copula的生成元.

這樣可以和例1結(jié)合得到如下多維阿基米德Copula函數(shù)

五、小結(jié)

阿基米德Copula函數(shù)在模型選擇，建立數(shù)據(jù)之間的簡(jiǎn)單聯(lián)系有著重要的作用.本文基于前人研究基礎(chǔ)上擴(kuò)大了求取生成元的條件，不再局限于嚴(yán)格單減的凸函數(shù)和一維函數(shù)，但是還有待研究對(duì)于隨機(jī)變量是不獨(dú)立的情況下構(gòu)造生成元這一難題.