高中生數學知識學習與素養發展的融合問題與對策

王召坤

【摘要】高中數學的核心素養是在對知識的認知、學習和應用中逐步形成的，現階段高中數學知識教學的結構化發展較快，但與學生數學素養發展的融合不夠充分，往往只能對六大素養中的一類或少數幾類素養進行培養，不利于學生數學素養的綜合發展.對此，本文探討了高中生數學知識學習與素養融合發展的要求，并以高中函數教學為例調查和總結了學生知識學習與素養發展的融合問題，在此基礎上對二者融合的教學設計、實施等策略進行分析，并結合函數教學進行舉例說明，以期為高中數學教師的相關實踐提供參考.

【關鍵詞】高中;數學知識學習;核心素養;融合;函數

數學知識的學習不僅僅是對單一知識點的理解與記憶，還包括了對知識體系和結構、知識的應用轉化關系等的認知，這樣才能使學生真正掌握運用數學的工具學科屬性及功能解決更為復雜的跨學科問題和實踐性問題的能力[1].比如數學抽象能夠幫助部分學生通過幾何性質來理解代數問題，又如數學建模能夠幫助學生更好地認識數學知識的應用邏輯并積累應用經驗，所以說數學核心素養的發展有助于提升學生數學知識學習的效率和質量.現在多數高中數學教師在教學中雖然重視常規教學和核心素養教育，甚至為了核心素養教育通常采用獨立性教育策略，但是這并不容易培養學生核心素養發展的自主興趣，也會給教師造成負擔.高中生數學知識學習和核心素養發展的融合有利于學生的綜合發展，能夠弱化學生對學習壓力的感知，教師也能有效提高教學效率，為教學質量的提升提供支持.

一、高中生數學知識學習與素養融合發展的基本要求

高中生數學知識學習與素養融合發展的基本目標是在有限時間內的同一教學活動中基于核心素養更高效地學習數學知識，同時也在這一過程中提高核心素養的發展水平，簡單來說就是要實現數學知識學習與核心素養發展的共同發展和互相促進.因此，在實際教育活動中，教師需要設計以核心素養支持學生認知和理解數學知識的探究活動，同時要以知識結構為基礎，在學生不斷學習知識的過程中通過知識結構來進一步印證數學素養能力.比如同時采用新舊知識和不同的方法來解決問題，這樣能夠幫助學生理解知識關系，并靈活掌握邏輯分析能力.結合新課標（2017版）對高中教學和核心素養發展的規定，可以將高中生數學知識學習與核心素養融合發展的要求歸納為以下兩個方面：

第一，在學習知識的過程中，教師應合理設計教學方案，使學生掌握運用數學核心素養來理順當前所學知識主線以及與其他知識主線之間的關系的能力.

高中階段的數學知識基本圍繞核心的概念展開[2]，此后不斷探究與概念相關的性質、分類、運算和應用，這本身就是一個不斷進階的邏輯發展過程，而在這個過程中有許多數學核心素養能夠幫助學生更深入地認識、理解和應用知識.因此，教師需要在設計知識教學的過程中引導學生基于核心素養（六類核心素養中的一類或少數幾類）來探究知識，逐步對知識形成更深刻的認識.以高中函數為例，其知識主線可大致總結如圖1.在主線知識的教學過程中，比如抽象素養可應用在函數基本概念認知、函數的性質認知、特殊數類及其特征的學習過程中，可以規避學生依賴圖像法認知函數性質的問題[3]，而且能夠幫助學生更準確地認識函數并掌握函數性質及其應用方法.筆者建議教師在單元知識教學中提前理順知識進階發展的主線，設計合適的數學素養應用策略，使學生能夠應用多種方式認識知識，加深對知識的理解.

圖1 高中函數知識主線示意圖

由于高中數學知識的關聯性相對較強，因此在知識學習的過程中還需要理解知識之間的關系，這樣既有助于提高學生解決綜合性數學問題的能力，也有助于學生更好地理解新知識.以函數為例，其本身和概率與統計、幾何與代數知識有較強關系，函數知識主線對應了概率與統計中的大量知識點（相關關系、二項式系數、線性相關關系、初等函數和數列模型、正態分布等），所以教師在強化學生知識結構的教學中也需要引導學生運用數學素養來認知不同主線知識之間的關系，加強學生的認識.

第二，在發展核心素養的過程中，教師應做好核心素養的教育滲透，使學生能夠在探究知識、自主建構知識結構、應用知識的過程中鍛煉核心素養.

高中數學核心素養的發展本身就依附于學生知識積累和思維鍛煉的過程，只是在教育的過程中可以將這種功能明確出來.實際上，現階段高中教材設計中對知識遞進的安排已經融入了對思維方式進階發展的支持.比如人教版教材引入函數概念時列舉了4個實例，為學生提供了直觀想象和數學抽象的鍛煉條件;后續函數性質的判斷引入了典型例題的對比學習，學生通過計算、列表、數據分析、觀察圖像、邏輯推理來探究函數的性質.總體而言，知識學習的過程本身已經具備了發展核心素養的條件和功能[4]，只是多數教師未做全面規劃，導致學生在日常學習中對核心素養的認識不足，也缺乏有明確目標導向的自主訓練，在相對有限的核心素養集中培養中難以實現快速發展（比如短期訓練能夠提高學生邏輯推理的能力，但很難有效促進學生邏輯推理意識的發展）.因此，教師需要結合知識主線提前做好核心素養的教育滲透，使學生核心素養的發展周期延長，并提高其核心素養發展水平.

二、高中生數學知識學習與素養融合發展的典型問題

結合個人工作經驗來看，目前高中知識教學和核心素養教育結合的不足最突出的表現是核心素養的滲透不足，導致多數學生的核心素養發展狀況不佳，也未能充分發揮核心素養對學生學習知識的促進作用.

為進一步證明該問題，筆者對高二學生進行了隨機調查，主要開展測試和訪談兩項調查.具體調查過程如下：隨機抽查了5個班級的218名學生參與此次調查，基于函數部分進行了綜合測試題設計，測試部分所設計的考試題通過了信度檢驗.其中：共設計10道綜合性解答題，7道（問題1-6，8）為函數內知識進階相關的多問解答題，3道（問題7，9，10）為函數知識的拓展性綜合解答題.所有試題中共出現了30個問題，其中考查數學抽象能力的有6個，考查邏輯推理的有4個，考查數學建模的有3個，考查直觀想象的有7個，考查數學運算的有21個（該類問題較為特殊，與其他素養的考查有15個問題是重疊的），考查數據分析的4個.

測試結果如下：

從測試結果來看：

本次調查中學生知識結構發展不完全理想，函數主線內的關聯性知識考查的正確率稍高于80%，不同知識主線間的知識考查的正確率稍高于70%.筆者在對學生回答進行梳理時發現，多數學生在運用舊知識推導新條件（性質或公式），并通過新學習的知識直接得出的條件解題時出現錯誤，而在單一知識點考查中的錯誤率不高.由此大致可以說明學生對函數知識結構的認識、函數知識的靈活應用能力有所不足，而應用數學核心素養能夠有助于學生加深對知識結構的認識.

本次調查中學生六類核心素養的總體發展不完全理想，除直觀想象、數學運算外（正確率稍高于80%），其他四類核心素養的發展水平偏低（正確率均低于80%）.對此，筆者在各班教師解析題目后對受訪學生進行了隨機訪談，在訪談中學生反饋兩類比較關鍵的問題：第一，少數學生在教師講解后能夠理清思路，認為教師以往只是提到過相應的解題技巧，但并沒有對思維方法做深入解析，也未特地安排過相應的專項訓練;第二，大多數學生了解教師講解的思路和方法，但由于平時的學習和訓練中進行相應的針對性訓練的次數較少，因此在測試時沒有及時找到正確的思路或方法.由此可以充分說明教師在常規教學和訓練中開展的核心素養訓練不足，未能充分發揮知識學習對學生核心素養發展的支撐作用.

綜合上述調查不難發現，現階段高中生數學知識學習和核心素養發展的融合度較低，互相之間的支撐和促進作用未能得到充分發揮.對此，筆者也對受訪班級任課教師進行了訪談，經了解，所有教師都了解高中數學核心素養的發展要求和所需培養的具體素養內容，但大多數教師都采用了集中培養的方式（單獨課時開展相應教學和訓練）而非滲透式培養（在日常講解、課堂探究活動中培養學生的核心素養），這說明多數教師本身對知識教學與核心素養的融合不夠重視.

三、高中生數學知識學習與素養融合發展的建議

針對高中生數學知識學習和核心素養融合不足的問題，筆者建議教師先做好課前準備工作，梳理知識進階的路線以及核心素養可在其中發揮作用的具體環節.具體需要做好以下三個方面的前期準備工作：第一，基于思維導圖設計知識主線及其和其他知識主線間的關系，明確知識結構培養的基本路徑，例如在函數教學前可以基于如圖1所示的知識主線進一步理清其與概率和統計、幾何與代數的關聯關系（如圖2）;第二，基于學生知識學習的特點和需求，提前選擇合適的核心素養作為學習支撐方案，比如在函數單調性與極值的教學中，教師可以設計探究性問題“繪制反比例函數圖像，確定函數定義域并論證其單調性”，該問題本身能夠引導學生以直觀想象和數學抽象的方式認識函數的單調性，使學生更早地發現函數的單調性不僅僅是直觀圖像上表現出的趨勢，還能結合問題中提到的“定義域”和函數圖像的變化特點發現“函數的單調性需要在抽象的區間內進行討論”，由此提高學生對知識的理解水平;第三，運用核心素養對主線內和主線間的知識關系進行有效解析，重點利用核心素養來強化學生對知識結構的認識，比如在指數教學中，教師可以通過類比和數學抽象能力來幫助學生更好地認識指數函數的特點，高中階段的無理數指數冪超越了以往的整數指數冪，指數函數則可視為能夠展現自然規律的特定函數[5]，這就可以通過實際觀察來掌握指數函數和一般函數的關系，比如以細胞分裂為例的細胞分裂耗時和細胞數量變化的關系，這需要學生通過直觀觀察和數據分析來發現指數函數中自變量和因變量的指數級變化特點，從而使學生更好地區分指數函數和一般函數.

圖2 函數與其他知識主線的關系示意圖

在知識教學中，教師除了需要按照預設方案開展教學外，還需要充分利用學生自主探究和訓練機會培養學生的核心素養.與上一類教學的目標不同，此類教學不需要高度強調教學方案的計劃性、完整性等，而是盡可能利用學生學習、探究和應用知識的機會進行核心素養訓練，使學生的數學核心素養在潛移默化中成長，幫助學生更早形成相應的意識和習慣.具體教學中需要注意以下四點：第一，教學和訓練前做好計算鋪墊，為核心素養訓練等預留更多時間.由于高中數學學習任務較重，課堂中開展（除數學計算以外）核心素養教學的條件較差，因此教師在條件允許的情況下可以提前加強對學生初等函數運算能力（尤其是指數和對數運算）的訓練，使學生在課堂學習、課后訓練中減少在計算上耗費的時間，能夠有機會開展更多樣化的數學核心素養訓練.第二，充分利用抽象問題的具象解析過程來引導學生的思維，培養學生的數學抽象、邏輯思維、直觀想象等素養.比如，在反比例函數和一元二次函數的學習中，教師可以引導學生利用繪制圖像的方法來與初中學過的一元一次函數進行對比，使學生在認識函數定義域、值域內涵的同時也能鞏固直觀想象等能力.第三，在知識解析的過程中訓練學生的邏輯推理能力，新舊知識結合教學、數學知識的證明與論證教學等都適合進行邏輯推理能力的訓練.例如，在解析函數本質的過程中，教師可以通過狄利克雷函數說明函數本質上并不是表達式，更重要的是表達數的對應關系，由此進一步引導學生觀察和識別“形式高度相似但本質上不屬于函數的特殊方程”，這可以有效鍛煉學生的邏輯推理能力.第四，在延伸性訓練中培養學生的建模和數據分析等能力，數學在現實中的應用最終多數都落在了建模應用上，函數也是建模應用最核心也最基礎的方法之一，因此教師可以采用逆向訓練的方法來訓練學生對函數的認知.例如，教師可以引導學生基于生活問題構建函數模型，并通過函數定義檢查所構建模型在形式上的準確性，通過計算和檢驗驗證并發現模型方法相較于直觀方法（直接根據條件的計算等）的優勢.

四、高中生數學知識學習與素養發展融合教學舉例

上文介紹了高中生數學知識學習與核心素養發展融合的教學建議，主要對教學設計、實施的基本邏輯和觀念進行了介紹，未詳細闡述教學方案.為了更好地幫助高中數學教師開展實踐，本文設計了如下兩個課例以供參考.

課例1 導數概念與數學抽象的融合教學

導數是函數的特殊類型，也是微積分中最基礎的概念，重點描述函數的局部特征（函數曲線在某點處的切線斜率），其中切線的角度、方向等很難以簡單的方式來描述，也很難通過直觀的方式來觀察[6].例如，函數f（x）=x2在點（1，1）處的切線很難通過直接觀察來感受切線與函數曲線的關系特點，這就需要引入微積分中以直代曲的思維方法，其本質上是使用直觀想象和數學抽象來支持學生理解導數概念.在實際教學中，學生可能會遇到諸多典型的理解障礙.例如，學生利用直觀無法準確觀察和描述的無限趨近的數學性質，在此可以采用石子上拋落水的軌跡來引導學生思考“石子的速度變化以及其和石子整個運動過程中平均速度的差距”，假設兩個時間點的速度差為Δx，在時間點不斷縮小直至無法通過圖像觀察和想象數值差異時代入數值對比，繼續成倍縮小速度差并計算差商，由此使學生從數值規律上發現Δx無限趨近于0時的數值變化趨勢，將石子移動過程中的瞬時速度、瞬時時間點在拋物線上的切線以符號化的形式呈現，使學生以更具邏輯理性的抽象方式認識導數，一方面幫助學生深入理解導數等同于差商極限，另一方面也能培養學生從直觀想象向數學抽象過渡的探究學習習慣和能力.

課例2 指數函數及其性質教學與建模的融合教學

指數函數是一種能夠在現實中廣泛應用的函數模型，其本身也能驗證函數的概念和性質.在教學過程中，教師可以充分運用基于生活的建模訓練來幫助學生高效理解指數函數并掌握指數函數的應用方法.

教材案例中使用了兩個典型案例，一是將y=1.073x（x∈N*，x≤20）和P=1[]2t[]5730對比，二是繪制函數y=x2的圖像.這種教學方式不夠直觀，教師需要先對函數式進行講解，再認識指數函數的特征.對此，教師可以引入生活中常見的冪問題進行設計.例如，第1個人在聚餐時帶了2個蘋果，第2個人要比前一個人多帶2個蘋果，以此類推，計算第30個人帶的蘋果數量.然后調整條件，即第2個人比前一個人多帶一倍的蘋果，以此類推，計算第30個人帶的蘋果數量.教師要引導學生用函數形式對兩類問題進行建模，由此得出聚餐者所帶蘋果數量y和其序號x的關系，條件調整前為y=2x（x∈N*），調整后為y=2x（x∈N*）.這種問題設計能夠規避復雜函數式的枯燥感，也能培養學生的建模意識.在此基礎上，教師可以基于上述問題中建立的指數函數模型提出新的問題，如這個指數函數有什么特點、應該如何發現函數性質并探索研究其性質的方法，此時就可以將學生的思維帶回到指數函數特征的探究上，比如發現底數對函數圖像的影響等.

結 語

總體而言，高中生數學知識學習與核心素養發展的融合有較高的必要性，但目前部分教師在知識教學中滲透核心素養教育的密度、頻率相對偏低，不利于學生數學素養相關能力、應用意識和習慣的養成.本文建議教師加強課程分析，及時引導學生應用核心素養能力來探索和認識知識，并加強常規教學和練習中的核心素養訓練，使學生的學習能力和成效都能得到顯著提升.

【參考文獻】

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[5]劉彥靈， 趙臨龍.高中數學指數函數教學的設計構思[J].學園， 2019（01）：37-39.

[6]范廷鈺.試論高中生學習導數及其應用時的困難點[J].課程教育研究，2018（02）：122.