極限計算中一些典型錯誤的剖析

張巍巍

【摘要】極限是高等數學重要的基礎工具，貫穿于高等數學學習的始終，而且課程中很多基本概念都是通過極限的方法給出的，比如函數的連續性定義、導數定義及定積分定義等.本文對極限計算過程中遇到的一些典型錯誤進行剖析總結，幫助學生更好地理解和掌握極限的計算.

【關鍵詞】高等數學;極限計算;典型錯誤

【基金項目】內蒙古農業大學基礎學科科研啟動基金項目（JC2017002）

一、引 言

高等數學作為高等院校理工科專業重要的公共基礎課，為學生后續專業課的學習提供了必要的數學知識和思維方法，為學生從事專業工作和進行科學研究奠定了必備的理論基礎，因此學好高等數學是至關重要的.極限作為高等數學學習的重要研究工具，在學習高等數學的過程中起到舉足輕重的作用，因此學好極限顯得尤為重要.本文通過一些具體實例，結合自己的教學體會，就學生在極限計算過程中遇到的一些典型問題進行剖析，分析產生錯誤的本質原因，最后給出正確的求解方法.

二、典型錯誤剖析

（一）對極限思想理解不透徹，思維不嚴謹，丟掉極限符號和過程，計算極限時不同時取極限

例1 求 limx→∞x2-xx2+1.

[STHZ]錯解1[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]錯解2[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=lim1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]剖析[STBZ] 第一種錯誤是丟掉極限運算符號，沒有運算符號，就無法進行運算，第二種錯誤是丟掉變量的變化過程，因為在不同的變化過程下函數的極限不同.產生以上錯誤的主要原因是對極限思想理解不深刻，思維不嚴謹.為避免產生以上錯誤，學生應深刻理解極限過程.極限過程是無限逼近的過程，計算極限實際上是在某一變化過程下研究變量的變化趨勢，因此計算極限時既不可丟掉極限運算符號，又不可丟掉變量的變化過程.在平時的學習過程中，要培養學生嚴謹的數學思維方式.

[STHZ]正解[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=limx→∞1-1/x1+1/x2=1.

例2 求 limx→∞x2+1cos1x-x2.

錯解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2+1-x2=1.

剖析 首先可以確定該極限是∞-∞的未定式，上面的計算過程是先考慮x→∞時函數cos1x的變化情況，再研究函數x2+1-x2的變化情況，這樣會改變原有變量之間的關系，顯然是錯誤的.實際上，計算函數極限是研究當x→∞時函數x2+1cos1x-x2的變化趨勢，因此在計算極限時要對所有變量同時取極限，切記不可分先后次序分別計算極限.下面給出正確的求解過程.

正解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2cos1x-1+cos1x=limx→∞cos1x-1[]1x2+cos1x=limx→∞-12x2[]1x2+cos1x=12.

（二）對極限的計算方法理解不準確、不透徹，忽視方法的使用條件

例3 求limx→0 x3cos21x.

錯解 limx→0 x3cos21x=limx→0 x3·limx→0? cos21x=0.

剖析 極限乘法運算法則成立的前提條件是每個函數的極限都存在，而limx→0 cos21x不存在，所以以上運算錯誤.本題應利用無窮小量與有界函數乘積是無窮小量的運算法則求解.

正解 limx→0 x3cos21x=0.

例4 求limx→0sin x-tan xarctan3x，當x→0時，x～sin x～tan x～arctan x.

[STHZ]錯解1 [STBZ]limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0x-xx3=0.

[STHZ]錯解2[STBZ] limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0sin x-xx3=limx→0cos x-13x2=limx→0-sin x6x=-16.

剖析 等價無窮小替換方法的基本原則是因式替換，即分子、分母的因式若為無窮小量，則可以用對應的等價無窮小去替換.因為當x→0時，x-x=0為sin x-tan x的高階無窮小，sin x-tan x與sin x-x不是等價無窮小，所以以上替換錯誤.在實際應用中，對函數乘積情形可以用相應的等價無窮小分別替換，但遇到代數和情形時往往不可對每一項單獨替換，建議對因式整體替換.

正解 limx→0sin x-tan xarctan3x

[ZK（]=limx→0tan x（cos x-1）arctan3x=limx→0x·-12x2x3=-12.[ZK）]

例5 求 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ.

錯解 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ

=limn→∞nn2+π+limn→∞nn2+2π+…+limn→∞nn2+nπ=0.

剖析 有限個無窮小的代數和為無窮小，但無限個無窮小的代數和不一定是無窮小.當n→∞時，上面極限過程實際上是無限個無窮小的代數和，結果未必是無窮小，所以以上計算錯誤，正確的做法應該用夾逼準則求解.

正解 對數列放縮，可得

n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ≤n2n2+π，

因為limn→∞n2n2+nπ=limn→∞n2n2+π=1，由夾逼準則知原數列極限為1.

例6 求 limx→∞x2+2cos xx2.

錯解 由洛必達法則，可得