直角與一線三等角在幾何和代數中的初步應用

夏滿

【摘要】在之前的文章中，我提到了一線三等角的模型，然而知道模型和構造模型，從知識體系和能處理的問題上來說，還是有很大的區別.想要解決更加復雜的幾何或代數問題，構造一線三等角是初中階段學習數學不可或缺的一部分.本文將從三方面闡述，希望對廣大學子有所幫助.

【關鍵詞】直角;認識和構造一線三等角;一線三等角的運用

一、引入：借助直角構造一線三等角

1.如圖1，△ABC為含30°角的直角三角形.

做法：（1）平面內，在△ABC三邊所在的直線外任選一點D，連接BD;

（2）過點A、點C作AE，CF垂直BD，分別交于點E、點F，如圖2，3.

結論：由于點D的位置選擇的不同，得到的模型的形狀也就不一樣，但總有△AEB與△CFB相似，判定理由為AAA.

2.如圖4，△ABC為含45°角的直角三角形

做法：同上，如圖5，6.

結論：由于點D的位置選擇的不同，得到的模型的形狀也就不一樣，但總有△AEB與△CFB全等，判定理由為AAS.

知識擴充：縱觀各地區中考試題，由于含45°角直角三角形的特殊性，所以該類型是最常考的一類.例如在正方形中很容易出現，如圖7.

二、以特殊角為例構造一線三等角

對于只給定一個角（不大于90°）來構造一線三等角的方法有很多，常用的方法是：先將給定的角放在直角三角形中，再按照上述作圖方式即可構造一線三等角，從而得到全等或相似圖形，如圖8，9，10.

∠B為銳角

借助直角構造一線三等角

結論：若∠B=45°，則△DEB與△FDC全等;若∠B≠45°，則△DEB與△FDC相似.

小結：由于構造直角三角形的方式有很多，從而得到的圖形的形狀也會發生變化.了解了構造方法，那么在解題時具體問題具體分析即可.

三、典例賞析

1.一線三等角之幾何篇

圖11例1 如圖11，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，點D在△ABC內部，且AD=CD，∠ADC=90°，連接BD，若△BCD的面積為10，求線段AD的長.

圖12思路點撥 方法一：如圖12所示.

∵tan∠ACB=2，

∴過點A作AF⊥BC于點F，∴AFFC=2.

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF.

設CF=x，則BF=CF=x，BC=2CF=2x，AF=2FC=2x，∴AC=5x，

∴AD=AC2=102x.

又∵S△BCD=10，

∴過點D作DE⊥BC于點E，則DE=10x.

∵AD=CD，∠ADC=90°，

∴過點D作DH∥BC交AF于點H，過點C作CG⊥DH于點G（構造一線三等角），

∴△ADH≌△DCG（AAS），∴DH=CG，AH=DG.

又∵DE=CG，

∴四邊形DEFH為正方形，四邊形HFCG為矩形，

圖13∴DH=DE=HF=10x，HG=FC=x，

∴AH=AF-HF=2x-10x，

DG=DH+HG=10x+x，

∴2x-10x=10x+x，解得x=25，

∴AD=102x=102×25=52.

方法二：本題還可以按照圖13構造一線三等角來解決.

圖14例2 如圖14，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠EPF=90°，頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，連接AP交EF于點G，求證：四邊形AEPF的面積是△ABC的一半.

圖16思路點撥 方法一：如圖15所示.

∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，且∠EPF=90°，

∴△EPA≌△FPC（ASA），

∴△EPF為等腰直角三角形.

過點E作EM⊥BC，過點F作FN⊥BC，則△EMP≌△PNF（ASA）.

過點E作EH⊥AP，過點F作FI⊥AP，則△EPH≌△PFI（ASA），

∴△EMP，△PNF，△EPH，△PFI均全等，

∴EM=FI，EH=FN.

∵S△BEP=12BP·EM，S△APF=12AP·FI，又∵BP=AP=PC，

∴S△BEP=S△APF，

同理可得S△AEP=S△CFP.

∵S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF，S△ABC=S四邊形AEPF+S△BEP+S△CFP，

∴S四邊形AEPF=12S△ABC.

方法二：如圖16，可通過證明△BPE≌△AFP（ASA），△EPA≌△FPC（ASA），

得到結論.

2.一線三等角之代數篇

例3 如圖17，在平面直角坐標系xOy中，點P為拋物線y=x2上一動點，點A的坐標為（4，2）.在拋物線上是否存在一點P，使∠AOP=30°？若存在，請求出點P的坐標.

分析 將特殊角放在直角三角形中，構造一線三等角得到相似或全等三角形解決問題.

思路點撥

如圖18所示，假設存在這樣的點P，連接OP并延長.

過點A作AG⊥OA，交OP于點G，則△OGA為含30°角的直角三角形，AGOA=tan 30°=33.

過點A作AC⊥x軸于點C，過點G作GH⊥AC于點H，則△AGH與△OAC相似，∴GHAC=AHOC=AGOA=33.

設點G（a，b），則H（4，b）.∵A（4，2），

∴GH=4-a，AC=2，AH=b-2，OC=4，

∴4-a2=b-24=33，解得a=4-233，b=433+2，∴點G的坐標為4-233，433+2，

∴OG的函數解析式是y=（2+3）x.

聯立y=（2+3）x與y=x2，得到的解即為點P的橫坐標.

小結：由于構造直角三角形的方式很多，故作圖方法不唯一，但總體應保持思路一致.

【參考文獻】

陳汝作，錢耀邦.初中數學解題技巧[M].上海：東方出版中心，1998.