基于學(xué)情“包裝的學(xué)問”的解題策略改進(jìn)

胡舒航

【摘要】“包裝的學(xué)問”是北師大版五年級下“數(shù)學(xué)好玩”中的內(nèi)容，是一節(jié)實踐活動課，以長方體和正方體的表面積為線索，探究多個長方體拼接成各種更大的長方體時面積最小的策略.平常的教學(xué)中我們都是探究到4個長方體為止，課后的練習(xí)中卻出現(xiàn)6個長方體組合求最小表面積的題目.根據(jù)對學(xué)生的訪談了解的情況，筆者對求這類包裝最小面積的問題有兩點(diǎn)啟發(fā)，不僅可以得到通用的方法，還可以提高學(xué)生的探究意識.

【關(guān)鍵詞】包裝的學(xué)問;重合的面;有序;表面積最小

一、重溫舊夢

“包裝的學(xué)問”老師們都很熟悉，很多名師對它也有精彩演繹，關(guān)于它的設(shè)計我不多做贅述，以下是一個“包裝的學(xué)問”課堂中新授課部分的一個簡單流程.

（一）激發(fā)興趣，導(dǎo)入新課

1.課件中播放各種精美的包裝，感受生活中的包裝.

2.出示單個包裝盒（長20 cm，寬10 cm，高5 cm），包裝的面積就是長方體的表面積.

（二）動手操作，探究方案，得出結(jié)論

1.2個包裝盒的包裝方案

學(xué)生動手實踐展示三種方案.

方案一：兩個小面重合（如圖1所示）.

方案二：兩個中面重合（如圖2所示）.

方案三：兩個大面重合（如圖3所示）.

觀察后猜測第三種方案的表面積最小.

2.計算驗證

（1）方法一：用組合后的圖形的長、寬、高求解.

方案一：（40×10+40×5+10×5）×2=1300（cm2）.

方案二：（20×20+20×5+20×5）×2=1200（cm2）.

方案三：（20×10+20×10+10×10）×2=1000（cm2）.

（2）方法二：用原來的面積減去重合的面積計算.

方案一：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-5×10×2=1300（cm2）.

方案二：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-20×5×2=1200（cm2）.

方案三：（20×10×2+20×5×2+10×5×2）×2-20×10×2=1000（cm2）.

（3）方法三：求小面、中面、大面的面積之和.

方案一：20×10×4+20×5×4+10×5×2=1300（cm2）.

方案二：20×10×4+10×5×4+20×5×2=1200（cm2）.

方案三：20×10×2+20×5×4+10×5×4=1000（cm2）.

比較計算方法，可以得出方法一和方法二的計算比較方便.

（三）包裝三個盒子

學(xué)生展示三種包裝方案.

方案一：4個小面重合（如圖4所示）.

方案二：4個中面重合（如圖5所示）.

方案三：4個大面重合（如圖6所示）.

學(xué)生計算得出方案三的面積最小.

小結(jié)：重合的面積越多，其包裝面積越小.

（四）包裝4個盒子

學(xué)生用學(xué)具代替盒子進(jìn)行嘗試擺拼，得出六種方法（如圖7所示）.

學(xué)生根據(jù)上面的小結(jié)進(jìn)行猜測，并計算驗證哪種包裝面積最小.

總結(jié)：重合的面積越大，表面積就越小，就越節(jié)約包裝紙，這就是包裝的學(xué)問.用表面積之和減去重合的面積就是包裝紙的面積.

二、驚現(xiàn)問題

以上就是“包裝的學(xué)問”新授課部分的一個簡單的流程，本人也是按照這樣的流程進(jìn)行教學(xué)的.那么教學(xué)效果如何？在課后的一道練習(xí)中又暴露了學(xué)生的困惑，或者說是無從下手的地方，我們一起來看看這道題目：

把六個完全相同的長方體（6 cm×2 cm×1 cm）盒子包裝成一個大長方體，表面積最小是多少？

全班30人只有2人得出正確答案，其中一人還是在網(wǎng)絡(luò)的幫助下得到的正確答案.我對全班同學(xué)進(jìn)行了統(tǒng)計，以了解他們解決這類題目時的策略及困難.

班級里的29人都不知道究竟有幾種拼法，其中只有一人知道總共有9種拼法.

這些人中有25人沒有通過計算，只是通過直覺判斷圖8這種拼法最節(jié)省，學(xué)生認(rèn)為這種拼法有10個最大的面重合，而且大面比中面和小面大得多.從上面的調(diào)查我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對究竟有幾種拼法是發(fā)現(xiàn)幾種就幾種，而且為了避開復(fù)雜的計算，都是憑直覺判斷哪種方案有最小的表面積.

三、慎思之，明辨之

俞正強(qiáng)特級教師曾說：“自己要時刻保持善良和努力.因為善良，他們就會倒逼自己去思考如何提高、完善管理或教學(xué)，讓小朋友幸福成長.善良的老師會受不了孩子學(xué)得這么痛苦或?qū)頃纯啵谑菚ニ伎?，?dāng)他思考足夠努力時，解決方法就出來了.”

針對學(xué)生的困惑，我們要去努力解決兩個問題：

（1）如何有序地知道有幾種拼法？

（2）如何判斷何時表面積最?。磕苤苯优懦渌灰嬎闫渲械囊环N或兩種進(jìn)行比較豈不是更好？

管子曾說：“思之思之，又重思之.思之而不通，鬼神將通之;非鬼神之功也，精誠之極也！”經(jīng)過思考，我們一起來解決這兩個問題.

（一）第一個問題——有序地知道有幾種拼法

我們先從簡單的入手，2個盒子、3個盒子都是3種拼法，4個盒子就是6種拼法，6個盒子就是9種拼法，這和它們因數(shù)的對數(shù)有關(guān)，因數(shù)的對數(shù)越多，拼法也就越多.

以6個盒子為例，約定：如圖9，像這樣由24個小長方體組成的長方體我們把它叫作（2，3，4）.

我們知道，24=2×3×4.

6個小長方體能擺幾種，只要思考6=（）×（）×（）有多少種答案，我們根據(jù)排列組合可以預(yù)測它有9種，分別如下所示：

以上就是尋找有多少種組合的方法：只要尋找n個小長方體中n=（）×（）×（）有多少種結(jié)果，就可以根據(jù)它的因數(shù)有序?qū)ふ?

（二）第二個問題：何時面積最小

上述的9種拼法中，（1，2，3）這種拼法的面積是最小的，拼成之后的長方體的長、寬、高分別是6 cm，4 cm，3 cm.這組數(shù)據(jù)非常小而且非常接近，在圖形上也可以理解為拼成之后的立體圖形比其他幾個更加接近正方體，面積=（6×4+6×3+3×4）×2=108（cm2）.

隨著要拼的小長方體數(shù)量的增多，研究重合面積會變得越來越復(fù)雜.所幸拼成的大長方體的長、寬、高可以根據(jù)三維數(shù)對清楚地知道.用長、寬、高可以更快地求出最小表面積，或者說這是一種更加通用的方法.

判斷表面積最小的方法就是：用三維數(shù)對求出對應(yīng)的大長方體的長、寬、高，哪種拼法長、寬、高越小而且越接近（也就是拼成的立體圖形越接近正方體）它的表面積就越小.

四、思之又思之

為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新意識，我們可以把上面的兩個結(jié)論放在第二課時講解.第一課時就按教材的內(nèi)容從變化的角度著重研究變化部分的面積，第二課時就是為了讓學(xué)生挖得更深，走得更遠(yuǎn)，同時也走得更加輕松一些.

【參考文獻(xiàn)】

[1]胡英武.“包裝的學(xué)問”之?dāng)?shù)學(xué)模型[J].教育界，2016（33）：76-77.

[2]李玲玲.妙用數(shù)學(xué)問題，整體建構(gòu)模型：以“數(shù)圖形的學(xué)問”為例談數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)[J].小學(xué)教學(xué)，2019（12）：38-40.

[3]侯政.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型使數(shù)學(xué)問題“形象化”[J].考試周刊，2010（43）：75-76.