高考數(shù)學(xué)立體幾何試題探究思考與體會

徐勝

【摘要】立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，有著舉足輕重的作用，而線面關(guān)系證明和線面角的求解是近幾年高考熱點(diǎn).本文將從數(shù)和形的角度分析，列舉尋找線面角的各種途徑，把握數(shù)學(xué)核心本質(zhì)，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，遨游立體幾何.

【關(guān)鍵詞】立體幾何;線面角

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，也是歷年高考數(shù)學(xué)命題的重要考點(diǎn)之一，其通過豐富的幾何載體，考查學(xué)生對空間基本圖形的位置關(guān)系的掌握，尤其是平行和垂直關(guān)系的判斷和證明，以及線線、線面、面面角等度量關(guān)系的計(jì)算是不變的主題和方向.近三年來，浙江省數(shù)學(xué)高考隨著文理合卷的新變化，對立體幾何的命題在注重基礎(chǔ)、突出重點(diǎn)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)和核心素養(yǎng)方面做了積極的探索和實(shí)踐，形成了簡潔獨(dú)特的命題風(fēng)格.下面筆者以2019年浙江省高考數(shù)學(xué)第19題為例，就本題的求解策略、背景及教學(xué)價(jià)值談?wù)勛约旱乃伎己腕w會.

一、原題呈現(xiàn)

（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)第19題）如圖1，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn).

（1）證明：EF⊥BC;

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

本題主要考查立體幾何的核心內(nèi)容：垂直關(guān)系的證明及線面角的計(jì)算.題目背景是熟悉的斜三棱柱，兩個(gè)小題之間存在合理的邏輯關(guān)系，證明垂直為尋找線面角鋪墊，而線面交點(diǎn)的不確定性，又使該題在常規(guī)背景下有所創(chuàng)新.命題者希望通過本題的考查，檢測學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題的設(shè)計(jì)注重基礎(chǔ)性，主要表現(xiàn)在熟悉的圖形，階梯式設(shè)計(jì);解法上注重通性通法，主要體現(xiàn)在幾何法、坐標(biāo)法，注重考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

二、解法探究

英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特曾說過：幾何看來有時(shí)候要領(lǐng)先于分析，但事實(shí)上，幾何的先行于分析，只不過像一個(gè)仆人走在主人的前面一樣，是為主人開路的.幾何也好，分析也罷，都是解決問題的重要方法，形可直觀，數(shù)可入微，數(shù)形結(jié)合，突破幾何.

1.第一小題解法

解 （1）連接A1E，∵A1A=AC，E為中點(diǎn)，∴A1E⊥AC，

面A1ACC1⊥面ABC，面A1ACC1∩面ABC=AC，

∴A1E⊥面ABC，

∴A1E⊥BC.∵AB⊥BC，AB∥A1F，

∴A1F⊥BC，∴BC⊥面A1EF，∴BC⊥EF.

點(diǎn)評：要證明線線垂直，方法多樣，本題容易想到用線面垂直來證明線線垂直，而要判定線面垂直，又需要用到條件所給面面垂直性質(zhì)定理，證明過程體現(xiàn)了三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想.

2.第二小題求線面角

本題的一大亮點(diǎn)和難點(diǎn)是直線與平面的交點(diǎn)位置不明確，斜足未定，給找線面角增加了一定的困難，在線面角不容易被發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，容易想到用空間向量法來求值.

解法1（空間向量法）

用空間向量法來展開研究立體幾何中的線面關(guān)系，求空間角、距離等問題，這是數(shù)形結(jié)合的繼續(xù)，是現(xiàn)代的“數(shù)學(xué)雙基”.用空間向量有效避開了找線面角的難點(diǎn)，本題第一問也可以用向量的方法來解決，在平常的教學(xué)中要注意模型化.

解法2（幾何法1：找垂面）

（2）取BC中點(diǎn)M，連接FM，EM，A1M.（圖略）∵E為AC中點(diǎn)，∴EM∥AB，則EM⊥BC，易證四邊形A1EMF為矩形.又由（1）知，EF⊥BC，∴BC⊥面A1EMF，∴面A1BC⊥面A1EMF，

設(shè)EF與A1M交于點(diǎn)N.∴EF在面A1BC上的射影為MN，即直線EF和面A1BC所成角為∠ENM.設(shè)AC=2，計(jì)算EN=154，MN=154，EM=32，由余弦定理，得cos∠ENM=35.

點(diǎn)評：要找線面角，關(guān)鍵是找線在面內(nèi)的射影，可通過作經(jīng)過線的垂面，從而找到兩個(gè)面的交線，就是線在面內(nèi)的射影.

解法3（幾何法2：直接找垂線）

（2）取BC中點(diǎn)M，連接EM，B1M，過B1作B1O⊥A1M于點(diǎn)O.（如圖2所示）

圖2由A1F∥EM，A1F=EM，且A1E⊥EM，易知四邊形A1EMF為矩形.由（1）知，BC⊥面A1EF，∵EH面A1EF，∴BC⊥EH，又∵A1M∩BC=M，∴EH⊥面A1BC，∴EH與面A1BC所成角為∠ENH.設(shè)AC=2，算得EM=32，A1M=152，EN=154，在△A1EM中用等面積法，可得EH=155，sin∠ENH=EHEN=45，∴cos∠ENH=35.

解法4（幾何法3：平移斜線找垂線）

（2）取BC中點(diǎn)M，連接EM，B1M，過B1作B1O⊥A1M.（圖略）易知EM∥FB1，EM=FB1，∴四邊形FEMB1為平行四邊形，∴EF∥MB1.

由（1）知，BC⊥面A1EF，B1O面A1EF，∴MB1與A1BC所成角即為∠B1MO.∵EF∥MB1，∴EF與面A1BC所成角即為∠B1MO.計(jì)算得cos∠B1MO=35.

解法5（幾何法4：等體積法）

（2）過點(diǎn)E作EH⊥面A1BC，記EF∩面A1BC=O，則∠EOH為EF與面A1BC所成角.（圖略）設(shè)AC=2，則BC=1，AB=3，EA1=3.計(jì)算得S△A1BC=154，S△EBC=34，由VE-A1BC=VA1-EBC，得EH=155.作BC中點(diǎn)M，連接B1M，F(xiàn)M，EM，由（1）知BC⊥面A1EMF，易得四邊形A1EMF為矩形，從而O為EF中點(diǎn)，∴OE=12EF=154，∴sin∠EOH=45，cos∠EOH=35，即EF與面A1BC所成角的余弦值為35.

點(diǎn)評：要求線面角，關(guān)鍵在于先找到線面角，根據(jù)線面角的定義，必須先找到線在面內(nèi)的射影，要找射影，可通過經(jīng)過斜線作垂面或者過斜線上一點(diǎn)作面的垂線得到，而要作出這條垂線，又需在垂面當(dāng)中去尋找.在探尋線面角的過程中，需要學(xué)生通過幾何體的結(jié)構(gòu)特征形成直觀想象，學(xué)會有邏輯地思考和推理，養(yǎng)成正確的思維方式，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、追根溯源

本題從命題意圖上較好地體現(xiàn)了《浙江省普通高中學(xué)科指導(dǎo)意見》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的導(dǎo)向作用.立體幾何的重點(diǎn)是提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).課本人教2017版必修二第66頁對線面角有明確的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角.書本中例題2對線面角的求解過程也是根據(jù)定義先作出輔助線，再根據(jù)定義找到線在面內(nèi)的射影，進(jìn)而求解計(jì)算.要求線面角，關(guān)鍵要找線在面上的射影，那么如何突破呢？關(guān)鍵在于先找垂面再找垂線.

四、變式拓展

基于以上思考，將原高考題做如下變式：

變式1 （圖略）在四棱錐C-A1ABB1中，平面A1AC⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn).求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

分析：本題截去原題中的三棱錐，其他條件，所求不變，變換圖形背景以四棱錐為載體，給學(xué)生的不同思維方式提供發(fā)揮的空間.

變式2 （圖略）在直角梯形A1ABC中，已知∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，現(xiàn)將梯形沿AC翻折，使二面角A1-AC-B為直二面角，E，F(xiàn)分別是AB，A1C的中點(diǎn).求直線EF與平面A1AC所成角的正弦值.

分析：翻折問題.從平面圖形到空間圖形的變化，對學(xué)生空間直觀想象能力提出更高要求.尋找線面角知，需要在平面ABC中過E作ED⊥AC，易證射影為DF，∴∠EFD為所求角.

五、考題追蹤

立體幾何主要考查兩大問題，一類是空間位置關(guān)系的論證，這類問題要熟練掌握公理、定理、定義之間的邏輯關(guān)系;另一類問題是空間角的計(jì)算，如線面角、二面角等，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力等.縱觀近幾年浙江卷立體幾何高考題，雖題目背景不同，題型卻都類似，知識考查全面，解法靈活多樣，本題的解法在以往高考題中也有較好的表現(xiàn).

（2018年浙江高考數(shù)學(xué)19題）

已知多面體ABC-A1B1C1，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AA1=4，CC1=1，AB=BC=BB1=2.

（1）證明：AB1⊥平面A1B1C1;（2）求直線AC1與平面ABB1所成角的正弦值.

分析：（1）通過計(jì)算，由勾股定理得到線線垂直，從而證明線面垂直.（2）由（1）得面A1ABB1⊥面A1B1C1，延長A1B1，

過C1作C1D⊥A1B1，

∴∠C1AD為所求角，再計(jì)算求值.

（2017年浙江高考數(shù)學(xué)19題）

已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD中點(diǎn).（1）證明：CE∥平面PAB;（2）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

由上面三道高考題可以看出，無論背景、圖形、條件怎樣變化，始終不變的是垂面與垂線，找垂面、作垂線是解決這一類問題的關(guān)鍵，教師在平常的教學(xué)中應(yīng)在關(guān)鍵處下功夫.

【參考文獻(xiàn)】

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2018.