關(guān)于測度的上盒維數(shù)的局部化

杜玉坤

【摘要】本文主要研究測度的上盒維數(shù)的局部化，定義了測度μx，ε，給出dimBμ在點x的局部化維數(shù)dimBμ（x），先討論了dimBμ與dimBμ（x）之間的關(guān)系，進而對局部化維數(shù)進行相關(guān)研究.

【關(guān)鍵詞】測度;上盒維數(shù);局部維數(shù)

【基金項目】廣東省科研平臺和科研項目2017年度青年創(chuàng)新人才類項目（自然科學）（項目編號：2017GkQNCX098）

一、引言及預備知識

測度的上盒維數(shù)在分形的研究中起著非常重要的作用[1-2]，設μ是Rd上的波雷爾測度，測度μ的上盒維數(shù)由下式定義[3]：

dimBμ=infdimBE：E為波雷爾集，μ（E）=1.

本文主要研究測度的上盒維數(shù)的局部化，μ為波雷爾概率測度，K為μ的支撐，對于任意x∈K，ε>0，定義測度

μx，ε=μ（·B（x，ε））=μ（·∩B（x，ε））μ（B（x，ε））.

定義 dimBμ在點x的局部化維數(shù)為：

dimBμ（x）=limε→0 supdimBμx，ε.

二、主要結(jié)論

引理1.1 設μ為Rd上的具有緊支撐的波雷爾概率測度，則有dimBμ（x）∈[0，d].

證明 根據(jù)條件，對于任意x∈K，ε>0，有sptμx，εK∩B（x，ε）.

于是dimBμ（x）≤dim sptμx，ε≤dim（K∩B（x，ε））≤dim（K）≤d.

顯然dimBμx，ε關(guān)于ε是單調(diào)的.

設ε1≥ε2>0，E是波雷爾子集，且滿足μx，ε1（E）=1，即

μ（E∩B（x，ε1））=μ（B（x，ε1）），

進而

μ（B（x，ε2））=μB（x，ε2）＼E+μ（B（x，ε2）∩E）

≤μB（x，ε1）＼E+μ（B（x，ε2）∩E）

=μ（B（x，ε2）∩E）≤μ（B（x，ε2）），

從而μ（B（x，ε2））=μ（E∩B（x，ε2）），即μx，ε2（E）=1.

所以dimBμx，ε1≥dimBμx，ε2.

引理得證.

引理1.2 設μ為Rd上的具有緊支撐K的波雷爾概率測度，若E是K的任意波雷爾子集，且滿足μ（E）=1，則

dimBE=dimBK=dimBμ.

證明 由dimBμ的定義，則dimBμ≤dimBK.

設E是K的任意波雷爾子集，且滿足μ（E）=1，則μE-=1，則E-K，進而有

dimBE=dimBE-≥dimBK.

很容易驗證dimBμ=inf{dimBE：E為波雷爾集，EK，μ（E）=1}，由于E的任意性，我們有

dimBμ≥dimBK≥dimBE.

推論1.1 設μ為Rd上的具有緊支撐K的波雷爾概率測度，對任意x∈K，r

dimBμ=dimBμ（x）.

證明 可以得到dimBK=s，進而有dimBμ=dimBK=s.

對任意t∈B（x，ε）∩K，r

μx，ε（B（t，r））[ZK（]=μBt，r∩B（x，ε）μ（B（x，ε））=μ（B（t，r））μ（B（x，ε）），[ZK）]

故c1rs（μ（B（x，ε）））-1≤μx，ε（B（t，r））≤（μ（B（x，ε）））-1c2r.

再次根據(jù)引理1.2，可知dimBμx，ε=dimB（K∩B（x，ε））=s.由ε的任意性，有dimBμ（x）=s，結(jié)論得證.

下面定理1.1將在dimBμ與dimBμ（x）之間建立一個等式關(guān)系.

定理1.1 設μ為Rd上具有緊支撐的波雷爾概率測度，則有

dimBμ=supdimBμ（x）：x∈K.（1）

證明 對于任意x∈K，ε>0，設E是波雷爾子集，滿足μ（E）=1，則

μx，ε（E）=μ（E∩（B（x，ε）））μ（B（x，ε））=1，

故dimBμx，ε≤dimBE，于是dimBμx，ε≤dimBμ，進而dimBμ（x）≤dimBμ，

因此dimBμ≥supdimBμ（x）：x∈K.

下證（1）的反向不等式，

設t>supdimBμ（x）：x∈K，

對任意x∈K，有dimBμ（x）0，當ε≤εx時，有dimBμx，ε

由于K是緊集，且B°（x，ε）：x∈K構(gòu)成K的一個開覆蓋，則存在有限子集xjm1使得K∪mj=1B°xj，εxj.因此，K=∪mj=1K∩Bxj，εxj.

對每一個j，選擇K∩Bxj，εxj的波雷爾子集Fj，

滿足

μFj∩Bxj，εxj=μFj，dimBFj

取F=∪mj=1Fj，有μF=1.

由上盒維數(shù)的有限穩(wěn)定性知，dimBF

故dimBμ≤dimBF

由t的任意性，可知dimBμ≤sup{dimBμ（x）：x∈K}.

推論1.2 設μ為Rd上的具有緊支撐K的波雷爾概率測度，則（1）中的上確界可以在K中某些點得到.

證明 設dimBμ=t.假設對任意x∈K，有dimBμ（x）

則由定理1.1的證明過程，可知dimBμ

由于dimBμ=dimBK，進而有：

推論1.3 設K為Rd上的緊子集，dimBK

證明 由引理1.2，得dimBμ=dimBK.

因為dimBK

若dimBμ（x）

由推論1.3可知，若對任意x∈K，有dimBμ（x）

定理1.2 設μ為Rd上具有緊支撐波雷爾概率測度，若E是K的波雷爾子集，對任意x∈E，有dimBμ（x）

證明 通過假設，我們知道對任意x∈E，存在εx0>0，當ε≤εx0時，有dimBμx，ε

記En=x∈E，εx0≥1n，則E=∪∞n=1En，且EnEn+1.

對每一個n，由于Fn=Bx，15n：x∈En是En的一個覆蓋，且sup{diam（B）：B∈Fn}<∞.

通過定理1.1，可知存在En的一個有限覆蓋Bxnj，1n：xnj∈En，1≤j≤m，對每一個j，相應存在K∩Bxnj，1n的波雷爾子集Fnj，滿足

μ（Fnj）=μBxnj，1n，dimBFnj

取Fn=∪mj=1Fnj，有dimBFn

由于En∪mj=1Bxnj，1n，μ（Fn）=μ∪mj=1Bxnj，1n.

因此，μ（En）=μ（En∩Fn）.

取Gn=En∩Fn，則dimBGn≤dimBFn

【參考文獻】

[1]法爾卡內(nèi).分形幾何：數(shù)學基礎及應用[M].曾文曲，等譯.沈陽：東北大學出版社，1996.

[2]文志英.分形幾何的數(shù)學基礎[M].上海：上海科技教育出版社，2000.

[3]法爾卡內(nèi).分形幾何中的技巧[M].曾文曲，等譯.沈陽：東北大學出版社，1999.

[4]P Mattila.Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces[J].Cambridge University Press，1995.