利用復數性質證明三角恒等變換公式

林柔苑

【摘要】復數的作用是強大的，其中復分析中的歐拉公式更是聯系復數與三角函數的重要工具.利用歐拉公式可以簡化三角恒等變換的證明過程，利用復數乘法的幾何性質可以推導輔助角公式，這不僅可以使學生感受復數的美與力量，更可以加深對復數和三角函數的理解.

【關鍵詞】復數性質;歐拉公式;推導證明;三角恒等變換

高中數學新課標中對復數的要求并不高，只需學生掌握基礎概念即可，但這樣使學生不能直接感受到復數的美與其強大的作用.所以本文將重點講述復數與三角函數的聯系，并利用復數特有的性質對三角恒等變換公式的證明進行簡化，從而拓展學生的創新性和對三角函數的理解.

一、復數的基本性質

根據高中教材的定義：任一復數z都有形式z=a+ib，其中a為實部、b為虛部.同時復數z=a+ib也可看作向量Oz.下面進一步認識復數的性質，首先認識z的模和輻角[1].

其中z的模是我們熟悉的，|z|= zz-= a2+b2.輻角的定義：非零向量Oz與實軸正向間的夾角為輻角，記為arg z.（注意arg z=arg z+2kπ，k∈Z有無窮多個取值，用arg z表示這些輻角中滿足-π

1.歐拉公式

歐拉公式在不同學科中有不同的含義，在復分析中歐拉公式是把復指數函數與三角函數聯系起來的公式，其具體形式為

eiθ=cos θ+isin θ.

對歐拉公式進行變形可得：e-iθ=cos θ-isin θ;將左式與歐拉公式進行相加或相減可以得到正弦和余弦的歐拉表示：

cos θ=eiθ+e-iθ2，sin θ=eiθ-e-iθ2i.

2.復數的表示

利用模和輻角可以將復數z寫成三角表達式：z=|z|（cos arg z+isin arg z）.將三角表達式結合歐拉公式即可得出復數z的指數表達式z=|z|eiarg z.

通過復數的三角表達式和指數表達式可以發現，只要確定了復數模和輻角的大小就可以確定一個復數.

3.復數相乘的幾何意義

由于復數α=αeiarg α，復數β=βeiarg β，所以

αβ=αeiarg αβeiarg β=αβei（arg α+arg β）.

得出復數相乘法則的幾何意義是：αβ的模長是α的模長與β的模長乘積;αβ的輻角是α的輻角與β的輻角之和.

根據上述幾何意義就可以輕易得出復數相乘后的模和輻角，從而得出相乘后的復數.

二、利用歐拉公式證明正弦、余弦、正切的兩角和與差公式

1.正弦、余弦的兩角和與差公式

通過對歐拉公式cos θ+isin θ=eiθ 進行適當的變形，可得[2]：

cos（θ-φ）+isin（θ-φ）=ei（θ-φ）=eiθe-iφ

=（cos θ+isin θ）cos φ-isin φ

=cos θcos φ+sin θsin φ+isin θcos φ-cos θsin φ.

根據復數的性質，對比實部和虛部可得到：

cos（θ-φ）=cos θcos φ+sin θsin φ，

sin（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φ.

利用同樣的方法可以快速得出正弦和余弦的兩角和公式：

cos（θ+φ）+isin（θ+φ）=ei（θ+φ）=eiθeiφ

=（cos θ+isin θ）（cos φ+isin φ）

=（cos θcos φ-sin θsin φ）+i（sin θcos φ+cos θsin φ）.

根據復數的性質，對比實部和虛部可得到：

cos（θ+φ）=cos θcos φ-sin θsin φ，

sin（θ+φ）=sin θcos φ+cos θsin φ.

2.正切的兩角和與差公式

正切的兩角和與差公式的證明并不是直接對歐拉公式進行變形，而是利用正弦與余弦的相應結果得出，

tan（θ-φ）=sin（θ-φ）cos（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φcos θcos φ+sin θsin φ， （*）

對（*）式最右項上下同時除cos θcos φ，則

tan（θ-φ）[ZK（]=sin（θ-φ）cos（θ-φ）=sin θcos φ-cos θsin φcos θcos φ+sin θsin φ=tan θ-tan φ1+tan θtan φ.[ZK）]

利用相同的方法可以得出：

tan（θ+φ）[ZK（]=sin（θ+φ）cos（θ+φ）=sin θcos φ+cos θsin φcos θcos φ-sin θsin φ=tan θ+tan φ1-tan θtan φ.[ZK）]

3.正弦、余弦和與差公式的推廣

由于正弦、余弦的多角和與差公式的推導方法相同，所以下面只以三角和公式為例進行說明.

cos（θ+φ+ψ）+isin（θ+φ+ψ）=ei（θ+φ+ψ）

=eiθeiφeiψ

=（cos θ+isin θ）（cos φ+isin φ）（cos ψ+isin ψ）

=[ZK（]（cos θcos φcos ψ-cos θsin φsin ψ-sin θcos φsin ψ-sin θsin φcos ψ）+i（sin θcos φcos ψ+cos θsin φcos ψ+cos θcos φsin ψ-sin θsin φsin ψ）.[ZK）]

根據復數的性質，對比實部和虛部可得到：

cos（θ+φ+ψ）=[ZK（]cos θcos φcos ψ-cos θsin φsin ψ-sin θcos φsin ψ-sin θsin φcos ψ，[ZK）]

sin（θ+φ+ψ）=[ZK（]sin θcos φcos ψ+cos θsin φcos ψ+cos θcos φsin ψ-sin θsin φsin ψ.[ZK）]

三、利用復數性質推導新的正切降冪公式

1.回顧正弦和余弦的降冪公式

對于正弦和余弦的降冪公式[3]推導主要利用了余弦的二倍角公式cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，即可得出：cos 2α=cos 2α+12，sin 2α=1-cos 2α2.

2.正切的降冪公式

對于正切的降冪公式，可以直接利用sin 2αcos 2α=1-cos 2αcos 2α+1，但此降冪公式右邊每項均沒有出現正切表達.下面介紹另一種方法：利用復數相乘的幾何意義進行推導.

令Y=tan α，所以復數z=1+iY形成的輻角斜率剛好為tan α.那么tan 2α剛好是（1+iY）2形成的輻角斜率，且（1+iY）2的展開式肯定有Y2=tan 2α，則

tan 2α=Im（1+iY）2Re（1+iY）2=2Y1-Y2=2tan α1-tan2α，

整理后可得：

tan 2α=tan 2α-2tan αtan 2α.

四、利用歐拉公式證明三角函數的和差化積公式

高中教材中的和差化積公式一般是先分解θ=θ-φ2+θ+φ2和φ=θ+φ2-θ-φ2，再利用兩角和（差）公式得出[4].但由于和差化積公式和歐拉公式同時涉及正弦、余弦，所以下面嘗試利用歐拉公式進行和差化積的證明，這使我們利用高等數學的知識可以快速解決中學的部分問題.

（1）第一步：推導cosθ-φ2，cosθ+φ2，sinθ+φ2，sinθ-φ2的復數表示

利用歐拉公式我們可以輕易得出以下復數表示：

cosθ-φ2=eiθ-φ2+e-iθ-φ22，cosθ+φ2=eiθ+φ2+e-iθ+φ22，

sinθ-φ2=eiθ-φ2-e-iθ-φ22i，sinθ+φ2=eiθ+φ2-e-iθ+φ22i.

（2）第二步：結合歐拉公式計算得出和差化積公式

2sinθ+φ2cosθ-φ2[ZK（]=2eiθ+φ2-e-iθ+φ22ieiθ-φ2+e-iθ-φ22=12i（eiθ+eiφ-e-iφ-e-iθ）=sin θ+sin φ，[ZK）]

2sinθ-φ2cosθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2-e-iθ-φ22ieiθ+φ2+e-iθ+φ22=12ieiθ+e-iφ-eiφ-e-iθ=sin θ-sin φ，[ZK）]

2sinθ-φ2sinθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2-e-iθ-φ22ieiθ+φ2-e-iθ+φ22i=-12eiθ-e-iφ-eiφ+e-iθ=cos φ-cos θ，[ZK）]

2cosθ-φ2cosθ+φ2[ZK（]=2eiθ-φ2+e-iθ-φ22eiθ+φ2+e-iθ+φ22=12eiθ+e-iφ+eiφ+e-iθ=cos θ+cos φ.[ZK）]

五、利用復數性質證明三角函數的輔助角公式

輔助角公式是中國近代著名數學家李善蘭先生提出的，該公式的主要作用是將多個三角函數的和化為單個函數.輔助角公式是高中的重要公式之一，但其推導過程大家卻容易忽略，下面將借助復數性質來快速推導出輔助角公式.

任意復數z都有相應的指數和三角表達式：z=|z|eiarg z=|z|（cos arg z+isin arg z）.

（1）證明asin θ+bcos θ= a2+b2sinθ+arctanba.

下面關鍵利用復數相乘的幾何性質來進行推導.為了出現asin θ+bcos θ，我們不妨考慮（a+ib）（cos θ+isin θ）.由于

（a+ib）（cos θ+isin θ）=（acos θ-bsin θ）+i（asin θ+bcos θ），

所以asin θ+bcos θ=Im（（a+ib）（cos θ+isin θ））.

其中ω=（a+ib）（cos θ+isin θ）=（a+ib）eiθ為復數（a+ib）和復數eiθ相乘，根據復數乘法的幾何性質可知：

|ω|=|a+ib||eiθ|= a2+b2，

arg ω=arg（a+ib）+arg（eiθ）=arctanba+θ.

所以ω=|ω|eiarg ω= a2+b2eiarctanba+θ，則可得，

asin θ+bcos θ=Im a2+b2eiarctanba+θ= a2+b2sinθ+arctanba.

（2）證明asin θ+bcos θ= a2+b2cosθ-arctanab.

這部分的推導方法與（1）是完全相同的.

不妨構造（b+ia）（cos θ-isin θ）.由于

（b+ia）（cos θ-isin θ）=（bcos θ+asin θ）+i（acos θ-bsin θ），

所以asin θ+bcos θ=Re[（b+ia）（cos θ-isin θ）].

其中ξ=（b+ia）（cos θ-isin θ）=（b+ia）e-iθ為復數（b+ia）和復數e-iθ相乘，根據復數乘法的幾何性質可知：

|ξ|=|b+ia||e-iθ|= a2+b2，

arg ξ=arg（b+ia）+arg（e-iθ）=arctanab+（-θ）.

所以ξ=|ξ|eiarg ξ= a2+b2eiarctanab-θ，則可得，

asin θ+bcos θ[ZK（]=Re a2+b2eiarctanab-θ

= a2+b2cosθ-arctanab.[ZK）]

本文將復數性質與三角恒等變換結合在一起，提供了另一種學習三角函數的方向，也體現了數學各知識點之間的融會貫通，其中復數性質不僅可以用來證明三角恒等變換，還可以與向量進行結合來解決幾何計算問題，所以復數的力量是強大的.

【參考文獻】

[1]陳宗煊，孫道椿，劉名生.復變函數[M].北京：科學出版社，2010.

[2]Tristan? Needham.復分析可視化方法[M].齊民友，譯.北京：人民郵電出版社，2009.

[3]于大中.三角函數降冪公式的推導及應用[J].中等數學，1984（2）：9-11.

[4]林清，蔡萍.利用歐拉公式推導三角函數公式[J].高等數學研究，2014（3）：10-12.