多元多項式理論及其應用

岳霞霞

【摘要】本文以對稱多項式和二次型這兩類特殊的多元多項式為例，比較系統地總結了這兩類多項式的有關知識點.在對稱多項式中，以對稱多項式定理為主線，較為具體地列出了對稱多項式定理在導出方程系數之間的關系、解高次方程組與證明題中的應用;在二次型中，主要列舉了二次型在證明不等式、求極值與因式分解中的應用，使得多元多項式這一部分知識更加有條理，同時對于今后做這方面的題目有一定的幫助.

【關鍵詞】多項式;對稱多項式;二次型

一、對稱多項式

對稱多項式是比較常見的一類多元多項式，同時也是一種比較重要的多元多項式.初等對稱多項式在對稱多項式理論中占據重要的地位，而對稱多項式的基本定理是聯系對稱多項式與初等對稱多項式之間的橋梁.這一節以對稱多項式的定理為主線，總結了與其有關的知識點以及一些應用.

1.有關對稱多項式的知識點

（1）定義

如果n元多項式f（x1，…，xi，…，xj，…，xn）對于i，j（1≤i

（2）對稱多項式的基本定理

對于任意一個n元對稱多項式f（x1，x2，…，xn）均有一個相應的n元多項式φ（y1，y2，…，yn），使f（x1，x2，…，xn）=φ（σ1，σ2，…，σn）.

（3）一元多項式根與系數的關系

設f（x）=xn+a1xn-1+…+an（1）

是一元多項式環Px中的一個多項式，假如多項式f（x）在數域P中有n個根α1，α2，…，αn，那么f（x）就能夠分解為

f（x）=（x-α1）（x-α2）…（x-αn）.（2）

比較（1）與（2）可以得到根與系數的關系如下所示：

-a1=α1+α2+…+αn，a2=α1α2+α1α3+…+αn-1αn，……（-1）iai=∑ak1ak2…aki（所有可能的i個不同的akj的乘積之和），……（-1）nan=a1a2…an.

2.對稱多項式的應用

（1）在導出方程系數之間的關系中的應用

根據對稱多項式定理，任意一個n元對稱多項式f（x1，x2，…，xn）均可以用一個基本對稱多項式來表示，下面的兩個例題就是用這一定理來解決的，即若已知一個一元n次方程xn+a1xn-1+…+an=0的根之間的關系，則可以導出方程的系數之間應該滿足的關系.

例1 證明一個三次方程x3+a1x2+a2x+a3=0的三個根成等差數列的條件是 2a31-9a1a2+27a3=0.

證明 設該方程的三個根分別為x1，x2，x3，因為這三個根成等差數列，故有2x2=x1+x3，則相應的對稱多項式可以構造為

φ（x1，x2，x3）=（2x1-x2-x3）（2x2-x1-x3）（2x3-x1-x2）.

又因為σ1=-a1，σ2=（-1）2a2=a2，σ3=（-1）3=-a3，

代入上面式子，從而有

φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3.

又因為2x2=x1+x3，故有φ（x1，x2，x3）=0，

所以φ（x1，x2，x3）=2a31-9a1a2+27a3=0.

（2）在解高次方程組中的應用

例2 在復數域上解方程組x5+y5=33，x+y=3.

解 方程組中的每個方程的左端都是x與y的對稱多項式，設兩個字母的對稱多項式為σ1=x+y，σ2=xy，

把x5+y5表示成二元初等對稱多項式，則有x5+y5=σ51-5σ31σ2+5σ1σ22，

從而原方程化簡為σ51-5σ31σ2+5σ1σ22=33，σ1=3，

解得σ1=3，σ2=2或σ1=3，σ2=7，即x+y=3，xy=2或x+y=3，xy=7.

因此，原方程組的解為（1，2），（2，1），3-19i2，3+19i2，3+19i2，3-19i2.

（3）在證明中的應用

例3 證明x1+x2+…+xn=0，x21+x22+…+x2n=0，……xn1+xn2+…+xnn=0只有零解.

證明 令σ1=x1+x2+…+xn，σ2=x1x2+x1x3+…+x1xn+…+xn-1xn，……σn=x1x2…xn，

sk=xk1+xk2+…+xkn（k=0，1，2，…），

由已知，可得s1=s2=…=sn=0，

s1=σ1=0，s2=s1σ1+2σ2=0，……sn=sn-1σ1-sn-2σ2+…-（-1）n-1σn-1s1-（-1）n-1nσn=0，

從而可得σ1=σ2=…=σn=0，

故x1，x2，…，xn為一元n次方程xn=0的n個根，而xn=0的n個根全為0，即x1=x2=…=xn=0.

故方程組只有零解.

二、二次型

二次型是二次齊次多項式，是特殊的多元多項式，本文通過矩陣乘法將二次型與對稱矩陣聯系起來，從而將二次型的問題轉化為矩陣來求，使二次型的問題簡單化.

1.有關二次型的知識點

定義1 每個n元二次型f（x1，x2，…，xn）都可唯一地表示成f（x1，x2，…，xn）=XTAX，其中X=（x1，x2，…，xn）T，A為對稱陣，A稱為二次型f的矩陣，則矩陣A的秩稱為二次型f的秩.

定義2 實二次型f=XTAX（A為實對稱陣，X=（x1，x2，…，xn）T），若對任意的X≠0，都有f>0（f≥0，f≤0），則稱f為正定（半正定、半負定）二次型.

定理1 實二次型f（x1，x2，…，xn）=XTAX可經變量的正交變換Y=QX（Q為正交陣）化為

f=λ1y21+λ2y22+…+λny2n（λ1，λ2，…，λn是矩陣A的全部特征值）.

定理2 設f=XTAX是n元實二次型，如果∑ni=1x2i=1，那么矩陣A的最大（小）特征值正好是f的最大（小）值.

以下我們進行討論判定n元二次型是否存在極值以及求極值的方法.

一般的，n元二次多項式形如

∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi+c，（3）

顯然（3）存在極值當且僅當∑ni=1∑nj=1aijxixj+2∑ni=1bixi，（4）

存在極值（上兩式aij=aji），易見∑ni=1∑nj=1aijxixj是一個n元二次型，設其矩陣為A.于是有

定理3 一個實二次型能夠分解成為兩個實系數的一次齊次多項式乘積的充分且必要條件是：它的秩為2且正負慣性指數相等，或者秩等于1.

2.二次型的應用

（1）二次型在證明不等式中的應用

例4 求證n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

證明 令f（x1，x2，…，xn）2=n（x21+x22+…+x2n）-（x1+x2+…+xn）2

=（n-1）x21+（n-1）x22+…+（n-1）x2n-2x1x2-2x1x3-…-2x1xn

-2x2x3-…-2x2xn-…-2xn-1xn，

該二次型的矩陣為

n-1-1…-1-1-1n-1…-1-1……………-1-1…n-1-1-1-1…-1n-1

將第2，3，…，n列加到第1列，那么第1列元素全為零，故|A|=0.用同樣的方法可以求出A的i階主子式為（n-i）ni-1>0（i=1，2，…，n-1），因此A是半正定的，所以f（x1，x2，…，xn）≥0，即n∑ni=1x2i≥∑ni=1xi2.

（2）二次型在求極值中的應用

定理2給出了在變數平方和等于1的情況下，求實二次型XTAX的最大、最小值的方法，在這里，我們舉例說明.

例5 已知實數x，y滿足x2+y2=1，求f（x，y）=x2+2y2-2xy的最大值與最小值.

解 f（x，y）的矩陣為 A=1-1-12，

λE-A=λ-111λ-2=λ2-3λ+1.

令λE-A=0，則λ1=123+5，λ2=123-5.所以，根據定理2可以得到，f（x，y）在x2+y2=1下的最大值為123+5，最小值為123-5.

（3）二次型在因式分解中的應用

例6 求多項式f（x1，x2）=x21-3x22-2x1x2-2x1-6x2在R上的分解.

解 考慮二次型g（x1，x2，x3）=x21-3x22-2x1x2+2x1x3-6x2x3，則顯然有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）.

二次型g（x1，x2，x3）對應的矩陣為

A=1-11-1-3-31-30，

矩陣A經過合同變換，可以求得相應的可逆矩陣為

P=11-3201-12001，且滿足PΤAP=1-40.

顯然r（A）=2且符號差為0，由定理可以知道，二次型g（x1，x2，x3）可分解.

作非退化線性變換

x1x2x3=11-3201-12001y1y2y3，

則g（x1，x2，x3）=y21-4y22=（y1+2y2）（y1-2y2），

而Y=P-1X，故有y1=x1-x2+x3，y2=x2+12x3，y3=x3，

從而g（x1，x2，x3）=（x1+x2-2x3）（x1-3x2），

進而有f（x1，x2）=g（x1，x2，1）=（x1+x2+2）（x1-3x2）.

【參考文獻】

[1]楊家搖，等.高等代數在初等數學中的應用[M].濟南：山東教育出版社，1992.

[2]徐仲，陸全，張凱院.高等代數考研教案：第二版[M].西安：西北工業大學出版社，2009.

[3]張禾瑞.高等代數：第四版[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]北大數學系幾何與代數教研室小組.高等代數：第三版[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]高凱慶.齊次線性方程組的理論在初等數學中的某些應用[J].數學通報，2002（01）：39.

[6]王奇，任文龍，李慧.高等代數在初等數學中的一些應用[J].甘肅聯合大學學報（自然科學版），2008（5）：55-56.

[7]李師正.多項式代數[M].青島：山東人民出版社，1981.

[8]呂鳳，等.高等數學在中學數學中的應用1000例[M].長春：東北師范大學出版社，1995.