素數略探

楊尚文

【摘要】自然數包括1、素數（質數）與合數.本文將素數之外的自然數用“非素數”表示，以區別對待.當自然數大于10時，可以從自然數的個位數的性質出發，來確定一個自然數是否為非素數，文中對個位數為1，3，7，9的自然數中存在著的非素數進行討論，通過對其因子的個位數的限定討論，來探知其存在的規律，從而為對非素數分布的研究以及對素數分布的研究提供一點思路.

【關鍵詞】非素數;素數;個位數;因子

本文將對素數稍做研究，如有錯誤之處還請讀者指正.

一、先把自然數排成十列（如表1）

二、素數之外的自然數，包括1和合數這兩部分非素數

以下論述，有三個前提如下：

① 從1到10的自然數，忽略不計;

② 文中，1和非素數本身不作為因子考慮;

③ 很明顯，一個非素數（大于10），不管其可以表示為多少個因子相乘，最終都可以表示為2個因子相乘.

以下描述中，a，b，c，d，e，f，g，h為“0”或自然數.

以下描述中，以a1為例，則，a1=11，21，31，41，….

據此，展開探討.

1.很明顯，個位數為2，4，5，6，8，0的自然數都是非素數，用灰色底表示，如表2.

2.再來看個位數為1，3，7，9的自然數

分別針對個位數為1，3，7，9的自然數，從其個位數出發進行討論，可以看出：

（1）個位數為1的非素數X，記為x1，若用x1=A×B表示，則除了自然數1之外，A和B的個位數只能是1，1或3，7或9，9.將A和B分別記作a1，b1或a3，b7或a9，b9，于是得到x1=a1×b1，其中a≥1，b≥1;或x1=a3×b7，其中a≥0，b≥0;或x1=a9×b9，其中，a≥0，b≥0.

（2）個位數為3的非素數Y，記為y3，若用y3=C×D表示，則除了自然數1之外，C和D的個位數只能是1，3或7，9.將C和D分別記作c3，d7或c7，d9，于是得到y3=c1×d3，其中c≥1，d≥0;或y3=c7×d9，其中c≥0，d≥0.

（3）個位數為7的非素數Z，記為z7，若用z7=E×F表示，則除了自然數1之外，E和F的個位數只能是1，7或3，9.將E和F分別記作e1，f7或e3，f9，于是得到z7=e1×f7，其中e≥1，f≥0;或z7=e3×f9，其中e≥0，f≥0.

（4）個位數為9的非素數W，記為w9，若用w9=G×H表示，則除了自然數1之外，G和H的個位數只能是1，9或3，3或7，7.將G和H分別記作g1，h9或g3，h3或g7，h7，于是得到w9=g1×h9，其中g≥1，h≥0;或w9=g3×h3，其中g≥1，h≥0;或w9=g7×h7，其中g≥0，h≥0.

以上所有的X，Y，Z，W這些非素數（大于10），包含了個位數是1，3，7，9的所有非素數（大于10），用灰色底表示（如表3）.

表3中，若取自然數11～300為區間，便得到區間內所有非素數，并到得到區間內所有素數.

3.同理，對于自然數，將X，Y，Z，W包括的非素數（大于10）集合，加上1，4，6，8，9，10這六個數，得到自然數中的全部非素數（如表4）.

四、綜上，略做一些歸納

（一）可以看出，非素數（大于10）只存在于個位數為1，3，7，9的自然數中，而由于個位數為2，4，5，6，8，0的自然數都是非素數，于是，素數（大于10）也只存在于個位數為1，3，7，9的自然數中.

（二）可以看出，非素數（大于10）有一定的分布規律可循，以“y3=c1×d3，其中c≥1，d≥0”為例，用灰色底表示如表5：

1.當d=0時，y3=c1×3，可以看出，每3格出現一個非素數;

2.當c=1時，y3=11×d3，可以看出，每11格出現一個非素數;

3.當d=1時，y3=c1×13，……

可以看出，非素數的分布存在一定的規律，可以較為簡便地通過設置合適的計算機程序得到非素數.

（三）可以看出，對于非素數（大于10），既然只存在于個位數為1，3，7，9的自然數中，并且x1，y3，z7，w9各自的計算邏輯比較清晰，于是，求得非素數的計算就顯得比較確定，特別是在給定的有限的自然數范圍內，非素數的計算顯得比較便捷.

（四）從非素數的因子組成和相互關系，依靠坐標系，可以進一步研究其幾何分布范圍和界限等，這可以為素數幾何分布范圍和界限問題的研究提供便利.