一道平面向量實際問題的研究與思考

石鵬　劉卓

【摘要】平面向量是解決數學問題的一個重要工具，在利用平面向量解決實際問題時，可借助三角函數工具和三角函數運算，并根據嚴謹的數學邏輯推理解決問題.本文是對一道平面向量實際問題的深入研究，并給出這類問題的推廣形式的結論，從而培養學生嚴謹的思維和推理能力.

【關鍵詞】平面向量;三角函數;旋轉角;和差化積

本文是根據高中數學必修4“平面向量加法運算”這一節的教輔資料中的一道題而來的，由于這道題答案給的解題過程不夠嚴謹，解析過程邏輯不夠準確，所以本文結合向量的坐標運算及三角函數的積化和差與和差化積公式對本題進行嚴謹推理，并得到滿足題意的答案，且答案不唯一，然后研究本題推廣的一般結論.

現給出本題的題目和參考答案給出的解法.

[STHZ]例[STBZ] 已知機器人剛開始在原點位置，為了讓機器人完成某項任務，某學生給機器人設置了以下指令：先逆時針旋轉α角，然后向前走1米.將該指令進行一次稱為一個操作，試用向量解決以下問題.

（1）當α=π3時，經過幾次操作才能回到原點？

（2）是否存在α，使得機器人經過10次操作，回到首次出發時的原點？

[STHZ]解[STBZ] （1）略.

（2）假設機器人經過10次操作回到原點，完成第i次操作記為ai1≤i≤10.由題意可知，a1+a2+…+a10=0，則向量a1，a2，…，a10構成了一個正十邊形，由于角α為正十邊形的外角，且外角和為2π，則此時正十邊形的外角為α=2π10=π5.所以存在角α，且為π5.

顯然這種解法的推理不夠嚴謹，不夠全面，經過10次操作，除正十邊形外，還有沒有其他情況呢？以進行5次操作為例，可以是正五邊形，也可以是五角星形狀，都能實現5次操作后回到原點.因此，下面給出本題第（2）問的嚴格推理過程和滿足要求的旋轉角α的集合.

解 記開始點位于直角坐標系xOy中的坐標原點，且第i次操作由點Ai-1到點Ai（i=1，2，…，10），A0與O重合，第1次旋轉是由x正半軸按逆時針方向旋轉α角，第2次旋轉后的A1A2是由x正半軸按逆時針方向旋轉2α角，第10次旋轉后的A9A0是由x正半軸按逆時針方向旋轉10α角，所以有：A0A1=（cos α，sin α），A1A2=（cos 2α，sin 2α），…，

A9A0=（cos 10α，sin 10α）.

由于機器人經過10次回到原點，則A0A1+A1A2+…+A9A0=0.

又因為

A0A1+A1A2+…+A9A0=（cos α，sin α）+（cos 2α，sin 2α）+…+（cos 10α，sin 10α）=（cos α+cos 2α+…+cos 10α，sin α+sin 2α+…+sin 10α）=（0，0），

所以cos α+cos 2α+…+cos 10α=0，sin α+sin 2α+…+sin 10α=0.

又因為α∈（0，2π），α2∈（0，π），所以sinα2>0.由積化和差公式和和差化積公式知，

cos α+cos 2α+…+cos 10α=cos αsinα2+cos 2αsinα2+…+cos 10αsinα2sinα2=12sin3α2-sinα2+12sin5α2-sin3α2+…+12sin21α2-sin19α2sinα2=12sin21α2-sinα2sinα2=cos11α2sin 5αsinα2.

同理可得sin α+sin 2α+…+sin 10α=sin11α2sin 5αsinα2.

由于sinα2≠0，所以cos11α2sin 5α=0，sin11α2sin 5α=0，

當sin 5α≠0時，有cos11α2=0，sin11α2=0，

所以sin 211α2+cos 211α2=0，這與sin 211α2+cos 211α2=1相矛盾.

故方程組cos11α2=0，sin 5α=0與sin11α2=0，sin 5α=0在α∈（0，2π）內無解.

所以sin 5α=0，5α=kπ，α=kπ5，k∈Z，

又因為α∈（0，2π），所以角α的取值集合為π5，2π5，3π5，4π5，6π5，7π5，8π5，9π5，共8種情況.

將此結論推廣到一般情況：

按照上題的操作規則，機器人經過n（n≥3）次操作后.

（1）求機器人所在點的坐標（x，y），及坐標與角α和n之間所滿足的等式關系;

（2）若機器人經過n次操作后首次回到原點，求角α（0<α<2π）的取值集合.

解 記機器人開始點位于直角坐標系xOy中的坐標原點，且第i次操作由點Ai-1到點Ai（i=1，2，…，n），A0與點O重合，An（x，y）.第一次旋轉是由x正半軸按逆時針方向旋轉α角，第i次旋轉后的Ai-1Ai（1≤i≤n）是由x正半軸按逆時針方向旋轉iα角，所以有Ai-1Ai=（cos iα，sin iα）（1≤i≤n），則OAn=A0A1+A1A2+…+An-1An=（x，y）.

又因為

A0A1+A1A2+…+An-1An=（cos α，sin α）+（cos 2α，sin 2α）+…+（cos nα，sin nα）

=（cos α+cos 2α+…+cos nα，sin α+sin 2α+…+sin nα）.

所以x=cos α+cos 2α+…+cos nα，y=sin α+sin 2α+…+sin nα.

又因為α∈（0，2π），α2∈（0，π），所以sinα2>0.由積化和差公式和和差化積公式知

cos α+cos 2α+…+cos nα=cos αsinα2+cos 2αsinα2+…+cos nαsinα2sinα2=12sin3α2-sinα2+12sin5α2-sin3α2+…+12sin（2n+1）α2-sin（2n-1）α2sinα2

=12sin（2n+1）α2-sinα2sinα2=cos（n+1）α2sinnα2sinα2.

同理可得sin α+sin 2α+…+sin nα=sin（n+1）α2sinnα2sinα2.

所以，點（x，y）的坐標滿足x=cosn+1α2sinnα2sinα2y=sinn+1α2sinnα2sinα2，（其中α∈（0，2π））.

對上述兩式平方得點（x，y）的坐標與角α和n之間的關系式為x2+y2=sin 2nα2sin 2α2.

（2）機器人經過n次操作后首次回到原點，則x=0，y=0.

由于sinα2≠0，所以cos（n+1）α2sinnα2=0，sinn+1α2sinnα2=0，當sinnα2≠0時，有cosn+1α2=0，sin（n+1）α2=0，

所以sin 2（n+1）α2+cos 2（n+1）α2=0，這與sin 2（n+1）α2+cos 2（n+1）α2=1相矛盾.

由cos（n+1）α2=0，sinnα2=0，得α=（2k+1）πn+1，α=2kπn，（k=1，2，…，n-1），無解.

同理sin（n+1）α2=0，sinnα2=0無解.

所以sinnα2=0，nα2=kπ，α=2kπn，k∈Z.

又因為α∈（0，2π），

當n為奇數時，角α的取值集合為αα=2kπn，k=1，2，3，…，n-1，共（n-1）種情況;

當n為偶數時，角α的取值集合為αα=2kπn，k=1，2，…，n2-1，n2+1，…，n-1，共（n-2）種情況.