由一道相似形的例題教學談變式教學的作用

劉成功

(安徽省定遠縣第二初級中學 233200)

教師是課堂教學的主導，學生是課堂教學的主體，課堂上要充分處理好教師與學生的關系.“教師講授給學生自主以啟發、動力、靈感、方向，學生自主給教師講授以反饋、分享、調控、反思.”課堂教學中，除了要讓學生了解和掌握基本的數學知識，習得基本的數學技能外，教師還要努力搭建橋梁，引導學生主動思考、積極探索，讓學生通過解題過程，感悟蘊藏其中的數學思想，習得解題方法，并從中學會與人溝通，增強學生合作意識.筆者一直探索如何提高課堂教學實效，尤其是教師主導性與學生自主性如何有機的統一方面經過多方嘗試覺得結合數學課本開展學生講題活動更有利于幫助學生理解問題，掌握知識，拓展思路，增強學習興趣，提高學習效率.要學好用好課本，特別是要用好課本中的例題，因為這些例題大多是通過精心篩選并科學整理而成的，往往具有很強的代表性，教師要充分利用好這些例題，讓學生不僅僅會做例題，還要把握其中的精髓，并且能夠遷移運用，實現觸類旁通，從而增強學生學習的效果.在學生講題活動中教師可以結合學習目標和教學內容，有針對性地進行調整，特別是對課本中的例題進行巧妙的多樣式變換，鼓勵學生積極嘗試，不僅能夠幫助學生更加熟練地掌握所學知識，也能很好地拓展學生解題的思路，發散學生的思維，提升學生學習數學知識的興趣，達到事半功倍的效果.

一、經典例題

如圖1中，一塊鐵皮呈銳角三角形ABC，它的邊BC=80cm，高AD=60cm.要把鐵皮加工成矩形的零件，使矩形兩邊之比為2∶1，且矩形長的一邊位于邊BC上，另兩個頂點分別在AB，AC上.求這個矩形零件的邊長是多少.

這一例題十分具有代表性，它是相似三角形性質的第二節課的例題，是相似形性質運用的代表性例題.書中的解題思路如下：相似三角形對應高的比等于相似比，即PQ∶BC=AE∶AD，由PQ=2ED進而得到2ED∶80=(60-ED)∶60，從而解決問題.

教學時安排學生講題，并要求各小組學生自行準備并查找資料或創造性的對這道題目作變式拓展.下面對學生講題時同學們對此題的變式拓展的收集及自身教學理解體會加以整理，來說明變式教學的作用.

二、變式教學有什么作用

1.變式練習能夠進一步夯實基礎內容

(1)同一道題不同的解題方式能夠促進基礎知識的鞏固

變式1你能用其它的方法求出矩形的邊長嗎？

學生小組合作，進行探究性學習.在學生深入思考、交流后，由其中的1名學生提出，并巧妙地通過平行線把線段按照比例進行劃分，介紹兩種方式：即PQ∶BC=AQ∶AC，AE∶AD=AQ∶AC得出PQ∶BC=AE∶AD，再求解；也可以AQ∶AC=PQ∶BC，QC∶AC=DE∶AD，由AQ∶AC+QC∶AC=1得出PQ∶BC+DE∶AD=1，再求解等.

雖然解題方法不一樣，求解的路徑不一樣，但得出的結論一致，這樣不僅能增強學生探索的興趣，還能鞏固學生所學知識，發展學生多角度思考問題的能力.

(2)以同一種方法來解決多種圖形

當前，在數學課本中，只要我們細心觀察就不難發現，很多種形狀的幾何圖形都有一些相同的特征，在教學過程中，教師要引導學生掌握解析這類題型的方法和技巧，實現舉一反三.

變式2如在例題中，將條件“矩形PQRS,兩邊長比為2∶1”改為“矩形PQRS，且PQ∶PS=3∶2”，在其余條件都不變的情況下.算一算矩形PQRS的邊長.

變式3假如我們改變△ABC的形狀，但始終保持著邊BC與高AD的長不變，矩形PQRS的邊RS在直線BC上，頂點P、Q分別在邊AB、AC上，矩形PQRS的邊長會發生變化嗎？為什么？(參見圖3、圖4)

變式4在上題中，若BC長為l，AD長為h，PQ長為a，DE長為b.請你寫出l、h、a、b之間的等量關系式.

同學在查找資料時收集的三個問題.即使圖形發生了較大的變化，但是關系式依然成立，沒有發生變化.通過這種方式，就能幫助學生進一步理解這類基本圖形里一直存在著的比例關系，即：a∶l=(h-b)∶h.這是數學的化歸思想，更直接幫助學生發現“變”中的“不變”，體會數學問題的本質.在教學時第三組的楊博聞展示了三個圖形，介紹了比例關系a∶l=(h-b)∶h后，我還借助多媒體進行演示，幫助學生進一步感受到變化的本質.

2.能夠巧妙地滲透數學思想

數學課本不僅僅包含著重要的數學知識，還蘊藏著無數的數學思想.作為教師，要跳出課本的藩籬與束縛，整合教學資源，進一步深挖課本，在引導學生學習數學變式時注重數學思想的滲透.學生講題時的變式是無目的的，有的甚至是錯誤的，教師有目的收集整理.幫助學生不斷積累數學知識，發展數學思維，逐步學會用數學思想來思考問題、解決問題.

(1)分類思想的滲透

變式5在銳角△ABC中，若BC=12，高AD=8，四邊形PQRS是△ABC的內接矩形，其一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上.如果矩形一邊長為3，求另一邊長.

學生2給出小組交流的結果，并細致地講解，尤其對PQ=3或者PS=3兩種情況作了分析:當PQ=3時，可得到3∶12=(8-DE)∶8；當PS=3時，可得到PQ∶12=(8-3)∶8，從而得出矩形另一邊長有兩種情況，體現數學分類的思想方法.

(2)滲透函數與方程的思想方法

變式6如圖5，在上題中，去掉“矩形一邊長為3”的條件，如果設PS=x，矩形PQRS的面積為S，求S關于x的函數解析式及定義域.

本題涉及方程與函數的思想，由前面可得“PQ∶12=(8-x)∶8，可推導PQ=-1.5x-12，S矩形PQRS=(-1.5x-12)x=-1.5x2-12x，定義域為0

(3)數形結合思想方法的滲透

數形結合是一種重要的數學思維，是一種重要的數學研究方法，往往通過數與形之間的關系來解決數學中的問題.下面變式7由學生3提出，他們組員做了深入的交流，都有深刻的認識.

變式7銳角△ABC中，BC=12，高AH=8，四邊形DEFG是△ABC的內接矩形，一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上.求矩形的最大面積及此時矩形的長和寬.

(4)化歸思想方法的滲透

化歸思想不僅僅是一種十分重要的解題思路，也是一種較為常用的思維方式，通常將復雜的問題進行轉化歸類，使之變得簡單易記，便于解決問題.

變式8如圖6中，在銳角△ABC中，BC=12，高AD=8，△PQR是△ABC的內接等邊三角形，且PQ∥BC，求等邊三角形邊長.

此題解決就可以用上化歸的思想，即使給出的圖形與前面的不一樣，但是學生4組同學還是通過小組合作，認真探索后發現，只要添加輔助線就可以把問題轉化為與原題相同的基本圖形(如圖7)，這樣問題就可以得到輕易地解決.

3.通過變式練習增強學習興趣，培養探究精神，養成合作、分享成功的習慣

(1)創生問題，增強學生學習興趣

變式9△ABC是一塊銳角三角形材料，如果邊BC長60厘米，高AH為40厘米，要把它加工成一個正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上.請問，這個正方形零件的邊長是多少？

變式10假如有一塊直角三角形紙板，斜邊長為5厘米，其中一條直角邊長為3厘米，你如何將它加工成面積最大的正方形紙板？

(2)拓展延伸，培養學生探究意識

變式11已知銳角△ABC的三邊長分別為a，b，c，其中a

(3)變式練習使學生養成合作、分享成功的習慣

變式11的解答就是由兩個不同的學習小組合作完成，大家分享了交流成果.并且對內容進行了適度拓展，根據不同學生的接受能力，巧妙搭建了相關橋梁，讓每個學生在問題解決中都能有所收獲，獲得相應的提升.

綜上所述，巧妙運用變式練習，不僅能夠幫助學生熟練掌握基礎知識，也能進一步引導學生從多角度、多維度、多層級思考問題，促進學生思維方式的發展和培育，增強學生的數學思想和思維方式，促進學生數學核心素養能力的形成，讓教學活動變得更加高效.