巧用弧的特征解決實際問題例講

漆玉瓊

(江西省宜春市宜陽學校 336000)

隨著新課程的實施，中學數學的教學非常重視對學生獨立思考、邏輯推理、數學應用等能力的培養，特別重視應用數學方法解決實際問題的能力的培養.幾何中弧長與面積有關的計算題也是中考考查圓有關知識的重點，而且題型設計新穎、獨特，常常結合實際生活中的實物為模型，考查學生數學建模的核心素養.

例1如圖是一個桌面會議話筒示意圖，中間BC部分是一段可彎曲的軟管，在彎曲時可形成一段圓弧，設圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點B，C分別為切點，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．

(1)如圖1，若話筒彎曲后CD與桌面AM平行，此時CD距離桌面14cm，求弧BC的長度(結果保留π)；

分析本題在第一問，由線段CD與AB平行的特殊情況入手，通過CD與AM距離探求獲得弧BC的半徑為4cm，圓心角為90度，然后可以直接利用弧長公式求出弧BC的長度.

解(1)如圖1，∵線段AB,CD均與圓弧相切，∴OB⊥AB,OC⊥CD,

∴CD∥OB∥AM,∴∠BOC=∠OCD=90°.

∵CD距離桌面14cm,AB的長為10cm,

∴半徑OC為4cm.

第二個圖形由特殊化為一般情況，當弧BC的圓心角發生改變，此時要抓住弧的形狀變了但是弧長不變，利用弧長公式可直接獲得新弧的半徑CO，再利用三角函數求出C點到BO的距離.

(2)過點C作CG⊥OB于點G.∵弧BC的長度為2πcm,

如圖2，過點C作CN⊥DM于點N,則CN∥OB.

∴∠OCN=∠BOC=60°.

∵∠OCD=90°,∴∠NCD=30°,

∴DM=DN+CG+AB=12.6+5.2+10=27.8(cm).

∴話筒頂端D到桌面AM的距離是27.8cm.

本題有個易錯點：很多學生誤以為圖1與圖2中弧的半徑不變而造成錯誤地求出點C到BO的距離，因此教師在引導學生分析時要盡可能使用直觀教學，讓學生找到題目中的變量與等量，從而正確運用條件求解.

例2(2018 金華)如圖3是小明制作的一副弓箭, 點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的過程中，假設弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長.如圖2，當弓箭從自然狀態的點D拉到點D1時，有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.

(1)圖4中，弓臂兩端B1C1的距離為____cm.

(2)如圖5，將弓箭繼續拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為____cm.

分析在(1)問中由AD1=B1D1=C1D1可知圖形由弓形拉成扇形，在已知圓心角的條件下，利用直角三角形即可求出B1C1的長度.

解(1)連接B1C1，交AD1于E,則AD1垂直平分B1C1.

在Rt△B1D1E中，∵∠B1C1D1=120°,∴∠B1D1E=60°.

在(2)問中，圖形進一步變化，扇形拉成半圓，圖形由一般到特殊，此時弧B1AC1的形狀變但是長度不變，從而可求出半圓的半徑，進一步在直角三角形中可求出D2E，再獲得AD2的長度從而解決問題.

(2)在題圖2中，∵AD1=30,∠B1D1C1=120°,

連接B2C2交AD2于E1,則AD2垂直平分B2C2,

本題與例1有類似，同樣是解題時要抓住弧BC的變化，由圓心角120度的弧變化成半圓后，弧長不變，但是半徑也變了，所以需要通過弧長作等量可求出新弧形下的半徑.在解題過程中仍然有不少同學誤以為半徑不變發生錯誤.

反思總結：以上兩題無論是從一般到特殊，還是從特殊到一般，都是先通過已知條件易計算出該段弧的長度，再利用弧形變而弧長不變，再求出新的弧形下的半徑，從而解決新的問題.其實質就是引導學生抓住變式前后的聯系與區別，培養學生類比、聯想、轉化等數學思想方法的能力，讓學生感受到數學推理的樂趣.