一元一次不等式(組)的運用對策(提優篇)

宋 揚

(江蘇省揚州市田家炳實驗中學 225000)

有許多不等式，本身并不是一元一次的，但往往都可以化為一元一次不等式(組)來求解. 諸如二次不等式、分式不等式、絕對值不等式，等等.另一方面，不等式(組)與數學其他知識點的綜合運用也隨處可見. 解決問題的總體對策是實施轉化，轉化的關鍵是找到相應的理論根據，使之在變形過程中保持同解性不變.

一、用于解二次不等式

類型對策：通常先將不等式右邊化為0，左邊分解為兩個一次因式的乘積，然后逆向使用兩實數相乘的符號法則，把二次不等式轉化為兩個一次不等式組，分別求解后，再綜合起來．

注:(1)上述方法的適用范圍：不等式化為一般形式后，左邊的二次式有兩個實根的情形.對于沒有實根的情形，可作適當處理，以確定其解的情況(或為無解，或解為一切實數).

(2)解一元二次不等式，通用方法是圖象法(借助二次函數的圖象求解).

例1 解不等式x2+2x<15.

解移項、分解因式得(x-3)(x+5)<0，于是有

由不等式組①得 無解；由不等式組②得 -5

所以原不等式的解集為 -5

要點指導：(1)本題逆用兩實數相乘的符號法則具體是指：兩數相乘若得負，則兩數異號. 顯然，其中包括兩種情況.

(2)例1解題完成后，可將不等式中的“<”,依次改為“≤”、“>”、“≥”，分別看一看各自的求解過程和結果，以能掌握這部分內容的全面情況.

二、用于解分式不等式

類型對策1：通常先將不等式右邊化為0，左邊化為一個分式(這里是指兩個一次式相除的形式)，然后逆用兩實數相除的符號法則，把分式不等式轉化為兩個一次不等式組，分別求解后，再綜合起來.

注:與前述解二次不等式的理論依據、方法相一致，有異曲同工之妙！想一想，相同點和不同點各有哪些？

類型對策2：若分式不等式的右邊是一個常數，左邊是一個分式，可直接對左邊的分母按正、負兩種情況分類討論，把分式不等式轉化為兩個(一次)不等式組，分別求解后，再綜合起來.

所以原不等式的解集為x>3或x<-5.

要點指導：(1)本題逆用相除的符號法則是指：兩數相除,若得正，則兩數同號；若得負，則兩數異號.

(2)將本題與例1的求解過程和結果相對照(按“>”、“<”、“≥”、“≤”分別對照)，有什么發現？對這部分內容，可做個總結，以能總攬全局.

解法2 對原不等式分兩種情況討論，再加以綜合.

綜上可知，原不等式的解集為x>3或x<-5.

要點指導：特別要注意，此題切切不可直接將原不等式兩邊同乘(x+5).想一想，為什么？

三、用于解絕對值不等式

類型對策1：關鍵是怎樣化去絕對值符號．通用方法是分類討論．其一般步驟是：以各絕對值(內)的零點為分界點，把變量的取值依次分段，然后逐段求解，最后加以綜合.逐段求解時，都是依據絕對值的基本性質：當a≥0時，|a|=a；當a<0時，|a|=-a. 先正確寫出去掉絕對值符號后的式子(這里指一次不等式)，然后求解.

類型對策2：對于只有一個絕對值符號的不等式，可根據絕對值的定義(即絕對值的幾何意義)，直接寫出去掉絕對值符號后的式子，繼而求解.

使用這種方法的主要情形有兩種：設f(x)是代數式，a是一個正實數.

(1)若|f(x)|a，則f(x)>a或f(x)<-a.

類型對策3：作同解變形. 比如，滿足一定條件時，可將不等式兩邊同時平方，注意到|f(x)|2=[f(x)]2.

解法1 先分兩種情況各自求解，再綜合.

要點指導：依據絕對值的定義分類討論，然后綜合.

要點指導：(1)依據絕對值的幾何意義化去絕對值符號；(2)這種連寫的不等式，實質上也是不等式組，只是書寫形式不同而已；(3)直接解連寫的不等式容易出錯. 要同時考慮“三邊”(或“多邊”)，而不是兩邊. 為了避免差錯，對稍復雜的連寫不等式，還是轉換成不等式組的形式后再求解為宜.

四、與方程(組)的綜合運用

類型對策：多用于帶參數的方程(組)求滿足某種特定條件的解(解集)，或以此來確定參數的取值(或范圍). 通常先把參數看成常數，求出方程(組)的解，然后根據限制條件列出相應的關于參數的不等式(組)，并求其解集，得到參數的取值(或范圍). 若題中還有其他求解目標，則根據條件繼續求解.

例4 當且僅當k為何值時，方程組

由(*)式又可知，當且僅當k取整數時，原方程組有整數解.故當k=2,3,4時，原方程組有正整數解.

五、與函數的綜合運用

類型對策：常用于求函數的最值等相關問題. 關鍵是列出關于自變量的不等式(組)，然后求其解集，就是相應函數的定義域. 隨之，問題便迎刃而解.

例5 非負實數a、b、c滿足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1.設y=3a+b-7c，求y的最大值與最小值之和.

要點指導：本題的a、b、c具有同等地位，其中任一個都可選作自變量.

六、與幾何問題的綜合運用

類型對策：關鍵在于針對需要求解的問題，列出合適的不等式(組). 除了根據給出的已知條件(顯性條件)，還常常用到相關幾何圖形本身的基本概念(定義)和性質. 隱含條件的使用，也往往具有選擇性.

例6 一個三角形的三邊長分別為xcm，(x+3)cm，(x+6)cm，它的周長不超過30cm，求x的取值范圍.

要點指導：隱含條件當用則用，不可或缺. 本題的隱含條件是三角形任意兩邊之和大于第三邊，應選擇兩小邊之和大于第三邊.