二次函數綜合題中三角形面積的特殊求法

寇 亮

(甘肅省岷縣城郊初級中學 748400)

隨著基礎教育課程改革的不斷深入，人們越來越關注學生數學核心素養的培養.就數學學科而言，數學建模就是數學核心素養的六個方面之一.

求三角形面積的問題是幾何問題中常見的問題之一，可用的方法也很多，比如三角形面積公式、割補、等積變形、三角函數等.本文介紹的方法是二次函數問題中實用的一種求面積的方法——鉛垂法.

一、知識必備

1.三角形面積公式

2.“割補法”求面積

一些不規則圖形或者不便直接計算面積的圖形，一般采用“割補法”將其轉化為規則圖形或可直接計算面積的圖形來處理.俗稱做“做加法”或“做減法”.

二、方法提煉

1.基本模型

證明過點C作CD⊥x軸于點D,交AB于點E, 過點A作AF⊥CE于點F,則有

(鉛垂法求三角形面積的計算方法在解答題中并不能直接使用，需要加以推導.)

2.模型變式

當點C位于點A的左側或點B的右側時，如圖4所示，上述計算模型還適用嗎？

證明如圖5，過點C作AD⊥x軸于點E,交AB的延長線于點D, 則有

通過上述推理證明，說明無論C與A、B的相對位置如何，這種鉛垂法求三角形面積的方法總是適用的，這類題目的構圖方法、證明過程、以及最終結論是基本一致的.這一點體現了一些數學題目“萬變不離其蹤”的特點或者說同學們在學習過程中“以不變應萬變”的學習方法.

3.模型升級

鉛垂法求三角形面積的方法其實質是割補，重點不在三角形的三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應的鉛垂高！

(1)如圖6，取AB作水平寬，過點C作CD⊥x軸交AB于點D，則CD即對應的鉛垂高.

(2)如圖7，取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交AC的延長線于點D，BD即對應的鉛垂高.

(3)如圖8，取BC作水平寬，過點A作鉛垂高為AD.甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高.

三、實戰演練

例題(2018年定西)如圖9，已知二次函數y=ax2+2x+c的圖象經過點C(0,3),與x軸分別交于點A,點B(3,0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.

(1)求二次函數y=ax2+2x+c的解析式；

(2)連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，請求出此時點P的坐標；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時點P的坐標和四邊形ACPB的最大面積.

解(1)將點B和點C的坐標代入函數解析式，得

(2)若四邊形POP′C為菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上，如圖10，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E.

(3)如圖11，P在拋物線上，設P(m，-m2+2m+3)，設直線BC的函數解析式為y=kx+b，將B和C的坐標代入解析式,可得

直線BC的函數解析為y=-x+3.

作PF⊥x軸于F，交BC于Q，設點Q的坐標為(m，-m+3)，

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m．

當y=0時，-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，OA=1，AB=3-(-1)=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

總之，二次函數綜合題中用鉛垂法求三角形面積的時候，關鍵是要抓住確定邊，最好是沿著動點去做垂線，作完垂線之后再去確定鉛垂高和水平寬，這樣便于操作.在總結規律的基礎上，通過習題加以鞏固，才能達到較好的學習效果.