幾何證明、尺規作圖的解題規范與解題技巧

摘要：幾何證明（文字證明題）、尺規作圖題近兩年在福建省中考卷是必考題，基本定位為基礎題（送分題），然而從考后的質量分析看，這兩類題的得分并不高，丟分主要集中在書寫表達不規范、幾何證明邏輯錯誤、推理過程條理混亂等。下面就幾何證明、尺規作圖的解題規范與解題技巧說說幾點意見。

關鍵詞：幾何證明;尺規作圖;解題規范;解題技巧

一、 幾何證明的解題規范與技巧

（一）幾何證明題解題步驟與技巧

一審題。先讀完題目，弄清楚題目意思，需要求證什么。對于題目中的條件應思考條件之間的聯系，聯想能得到什么結論;結論可以由什么條件得到。二要標記。讀題時每個條件都要在圖形中標注出來。如邊相等，就用邊相等的符號來表示。三要構造。有的題目隱藏某條線或幾條線，所以我們要學作輔助線，那么這里的作輔助線就需要平時熟練掌握定理推論和基本圖形。然后再考慮證明還缺少哪些條件，把題目轉換成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中。

幾何的文字證明題，關鍵是要分清題目的條件和結論，然后“翻譯”成符號語言和圖形語言;再分析思路，書寫證明過程。

（二）幾何證明題書寫規范

證明題規范書寫，就是要按嚴密的邏輯推理，執因索果，言簡意賅。書寫要有條理性，有根有據;關鍵得分點要寫，表述要準確，還有字跡要清晰，這樣才能提高得分。下面舉例說明：

（問題1：沒有從已知條件出發，題目的原始條件是ABCD）

（問題2：作為一道大題分值高步驟少，每一步都是得分點應該書寫詳細，應將證明三角形全等的條件羅列清楚）

（問題3：語句不完整，應改為：四邊形ABCD是平行四邊形或在ABCD中）

又∵對頂角相等（問題4：對頂角相等直接用）

（問題5：濫用又∵，又∵是需要多個條件得到結論的情況下使用表示補充，此處對頂角相等一個條件便可得到結論，不需要又∵）

【例2】求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比。

要求：①根據給出的△ABC及線段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以線段A′B′為一邊，在給出的圖形上用尺規作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不寫作法，保留作圖痕跡;

②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據此寫出已知、求證和證明過程。

不規范書寫3：

已知，如圖，△ABC∽△A′B′C′，對應邊成比例，D是AB的中點，D′是A′B′的中點。

求證：中線比等于相似比。

（問題6：沒有結合圖形將文字語言轉化為幾何語言。）

證明：∵△ABC∽△A′B′C′，

A′B′AB=B′C′BC=A′C′AC=k，∠A′=∠A，∠B′=∠B，∠C′=∠C

（問題7：將條件所得所有結論都羅列出來，有些結論與答題無關沒有必要。）

二、 尺規作圖的解題規范與技巧

（一）尺規作圖有關知識

在幾何里，用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖，叫做尺規作圖。最基本、最常用的尺規作圖，通常稱基本作圖。初中五種常用的基本作圖是：（1）作一條線段等于已知線段;（2）作一個角等于已知角;（3）平分已知角;（4）作線段的垂直平分線;（5）經過一點作已知直線的垂線。學過基本作圖后，在以后的作圖中，遇到屬于基本作圖的地方，只需用一句話概括敘述就可以了。如：（1）作線段××=××;（2）作∠×××=∠×××;（3）作××（射線）平分∠×××;（4）過點×作××⊥××，垂足為×;（5）作線段××的垂直平分線××。

（二）常見幾何作圖語句

（1）過點×、點×作直線××;或作直線××，或作射線××;

（2）連結兩點×、×;或連結××;

（3）在××上截取××=××;

（4）以點×為圓心，××為半徑作圓（或弧）;

（5）以點×為圓心，××為半徑作弧，交××于點×;

（6）分別以點×、點×為圓心，以××、××為半徑作弧，兩弧相交于點××;

（7）延長××到點×，或延長××到點×，使××=××。

（三）尺規作圖解題技巧

近幾年中考作圖題形式有改變，不再滿足檢測圖形變換等常見知識點，著重考查學生動手操作及課本一些畫圖知識。尺規作圖解題關鍵是要弄清作圖原理與根據，牢記五種常用的基本作圖的方法，要求學生熟練掌握全等三角形判定后，重新審視作圖依據，梳理基本作圖的內在聯系;描述作圖步驟，把文字語言轉化為圖形表達，按所作圖形的等量關系用幾何符號表達。

【例3】已知銳角∠AOB，如圖，

（1）在射線OA上取一點C，以點O為圓心，OC長為半徑作PQ，交射線OB于點D，連接CD;

（2）分別以點C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交PQ于點M，N;

（3）連接OM，MN。

根據以上作圖過程及所作圖形，下列結論中錯誤的是（?? ）

A. ∠COM=∠COD

B. 若OM=MN，則∠AOB=20°

C. MN∥CD

D. MN=3CD

解答思路與技巧1：

學生需要理解圖是如何作出來的，即根據提供的作圖步驟文字描述表達成符號語言和圖形語言。由作圖知CM=CD=DN，又由于PQ是以O為圓心的圓的一部分，根據定理在同圓或等圓中，弦相等則弦所對的圓心角也相等，可得∠COM=∠COD，故A選項正確;

解答思路與技巧2：

添加作圖中“過程性”的輔助線。在作圖中，

把每一步使用圓規截取的線顯現出來，這樣有助于圖形的分析。

如圖，連接ON，CM，DN。由OM=ON=MN，

得∠MON=60°，由CM=CD=DN，知∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B選項正確;由∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，得∠OCD=∠OCM=80°，因此∠MCD=160°，結合圓周角定理又得∠CMN=12∠AON=20°，所以∠MCD+∠CMN=180°，即MN∥CD，故C選項正確;由于MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，所以3CD>MN，故D選項錯誤。

（四）尺規作圖規范

尺規作圖的點要標大寫字母，作圖完確認無誤后描黑，最后要下結論。

三、 結語

對于幾何證明，在教學中應加強學生對基本性質定理、判定定理的理解鞏固與訓練;學生的邏輯推理能力普遍較弱，因此對于基本題及其變式題的訓練尤為重要;重視幾何題過程書寫的邏輯性、條理性，強調來龍去脈要清楚，步步有據，不能想當然，不能自加條件。新課教學時都要耐心、細致教會學生符號語言的表達;強調答題的規范性要求：如畫圖要用工具，輔助線要虛線，要強調用黑色簽字筆描黑，符合要求，要準確到位。

對于尺規作圖，在平時教學中要研究課本，學好教材;注重尺規作圖原理的分析;重視發展學生的邏輯推理能力。

幾何證明和尺規作圖二者相輔相成，幾何證明是尺規作圖思維過程的體現，而尺規作圖又是幾何證明演繹推理的源頭。

參考文獻：

[1]陳輝，林進東.返璞歸真，突出本質，發展數學學科核心素養——2018年福建中考數學試題分析與啟示[J].中學數學，2019（3）：38-41.

[2]陳少毅，張小峰.以中考為例，談新課標下尺規作圖教學[J].中學數學教學參考（中旬），2016（5）：14-16.

作者簡介：

鄭秋月，福建省漳州市，福建省漳州市第八中學。