實際問題驅動 激發內生動力
——排列組合案例淺析

陳小霞

(重慶市大足區教師進修學校 重慶 402360）

偉大科學家愛因斯坦曾說“興趣是最好的老師，它可以激發人的創造熱情、好奇心和求知欲?！痹谥袊糯臍v法中，“十天干”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；“十二地支”子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支排列組合從而衍生出一輪甲子60年。這樣古老的紀年法一直沿用至今，她在閃耀華夏祖先智慧光芒的同時，更帶給大家對生活、學習和工作的新思考。我們的祖先發明干支紀年法主要是為解決當時生產生活對時間長度記錄的需要，是本著具體的解決問題而來的，自然就洞開了思維，也激發了探索的動力。由此可見，當我們將學習的初衷內化為奔著解決問題而來，那學習的效果一定會向著提升能力而去。為此，筆者以高中數學為例，通過排列組合案例解析，和大家一起感受數學解決實際問題的魅力。

一、排列組合思想在高中數學中的兩個重要理論支撐

分類計數原理：如果獨立完成一件事情有n種不同的途徑，并且第一種途徑有種m1不同的方法，第二種途徑有m2種不同的方法……第n種途徑有mn種不同的方法；那么完成該事件總共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。

分步計數原理：完成一件事情有n個不同的步驟：第一步有m1種不同的方法，第二步有m2種不同的方法……第n步有mn種不同的方法；那么完成該事件總共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。

從上述兩個原理中容易發現：組合思想是分類計數原理的應用，排列思想是分步計數原理的應用。但在實際生活中，兩者往往又是密不可分的，下面以具體事例說明。

二、實際生活中的排列組合案例

（一）案例一：名額分配問題

現有10臺相同的電腦，配送到6個不同的工作部門，要求：每個部門至少分配一臺。則可能有多少種不同的配送方法？

滲透核心素養：數學抽象、數學建模、數學運算。

（二）案例二：工作安排問題

某公司安排4名員工周六和周末分上下午4個時段值班，員工甲不值上午，員工乙不值周六，則不同的值班安排有多少種？

分析：值班的時段不同，值班的員工也不同，這是一個與順序相關的，所以是排列問題。

1.法一：對立面求解

由于此處的限制元素有兩個，且兩限制元素有共同的限制時段即周六的上午，故可以用對立面運算?？偳闆r（不考慮限制條件通排）有A44=4×3×2×1=24種，對立面有甲值班上午和乙值班周六（注意：甲值班周六的上午和乙值班周六上午時，兩個限制條件重合，故運算時應該減去）即C21·A33+C21·A33-A33=18種。因此，滿足條件的安排有N=24-18=6種。

2.法二：正面分類求解（按甲的限制條件分類）

圖1

第1類（圖1）：若甲排周六下午，則乙可以在周日上、下午任選（有2種可能），而剩下的2人則在剩下的2個位置任選（有A22種）故由分步計數原理得N1=2A22=4種。

圖2

第2類（如圖2）：若甲排周日下午，則乙只能排周日上午，同樣的，其余2人在在剩下的2個位置中任選（有A22種）即N2=A22=2種。

綜上：由分類計數原理得N=N1+N2=4+2=6種。

3.法三：正面分類求解（按乙的限制條件分類）

第1類：若乙排周日上午（圖3）

圖3

N1=2A22=4種。

第2類：若乙排周日下午（圖4）

圖4

N2=A22=2種。

同理：由分類計數原理得N=N1+N2=4+2=6種。

滲透核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析。

（三）案例三：列隊問題（排數問題）

1.類型1：相鄰元素捆綁（注意捆綁元素自身的順序）

例如：6人列隊，其中甲和乙必須相鄰，則不同的排法有多少種？

分析：第1步，先將甲乙捆綁一體，考慮彼此之間的左右順序有2種情況；第2步將甲乙看成一個整體連同剩下的5人看成6個新的整體有A66種。因此2A66種

滲透核心素養：邏輯推理；數學建模；直觀想象；數學運算

2.類型2：不相鄰元素插空（空格的位置和個數）

例如：6人列隊，其中甲和乙不相鄰，則不同的排法有多少種不同的排法？

分析：第1步，先將除甲乙以外的4人排成一列，有A44種不同的排法；第2步，在已排好位置的4人中有3個位置，以及在兩端的2個位置，共5個位置中任選2位置排入甲和乙，有A52種不同的排法；最后，由分步計數原理知N=A44·A52種。

滲透核心素養：數學抽象；邏輯推理；直觀想象；數學運算

3.類型3：定序均分問題

例如：6人列隊，要求甲只能站在乙的右邊，則有多少種不同的排法？種情況，故相當于在不考慮甲和乙的限制下通排后，再平均分成

分析：甲和乙有A22種排法，而甲站在乙的右端只是其中的一A22份，而甲站在乙的右端只站其中的一份。所以N=A66/A22種。一般的，在排列中要求特殊元素順序一定時，都會用所有元素的全排列除以定序元素的全排列。又如：6人排成一列，要求甲乙丙三人從左到右按照身高從高到低的順序排成一列，則N=A66/A33種。

滲透核心素養：數學抽象；邏輯推理；數學建模；直觀想象；數學運算

（四）案例四：均分與部分均分分組問題

例如：將A、B、C、D個人平均分成2組，有多少種不同的分法？

分析：此處只需要將兩個人分成一組，而不必管組內人員的分工，所以它是一個無序問題。第一步，從4人中任選兩人作為第一組（或第二組）的元素；第二步，將第一步選后剩下的元素作為另一組。第三步，此處只管將4人分2組，而不必區分誰是第一組，誰是第二組，所以應該除以平均分得的組數的全排列。綜上知：N=C42·C22/A22=3種。另解(枚舉)AB+CD；AC+BD；AD+BC同理，將6人平均分成3組共有分法數為N=C62·C42·C22/A53=15種。枚舉為AB+(CDEF)有(AB+CD+EF；AB+CE+DF；AB+CF+DE)3種；同理，AC+(BDEF)，AD+(BCEF)，AE+(BCDF)，AF+(B CDE)各有3種，故由分類計數原理知總數為15種。一般地，將不同的元素完全平均（或者部分平均）分成n組，第一步按組順序選擇，第二步除以平均分得的組數的全排列。如：將5本不同的故事書分給3個小朋友，其中2人得2本，另1人得1本?？梢韵确殖?個組，其中由于有2個組是平均分，故分組N1=C52·C32·C11/A53=15種；然后再將分好的3組排給3個小朋友為A33=6種，由分步計數原理有N=15×6=90種。

滲透核心素養：數學抽象；邏輯推理；數學運算

（五）案例五：染色問題

例如：用5色染4區，要求相鄰的區域顏色不能相同。

分析：第1類：0組顏色相同（用4色）；N1=A54=5×4×3×2×1=120種。

圖5

第2類：只有一組顏色相同（用3色）（有兩個區域顏色相同AD或者BC）N2=2A53=2×5×4×3=120

圖6.1

圖6.2

第3類：2組顏色都相同（用2色）（AD顏色相同、BC顏色也相同）N3=A52=5×4=120種。

圖7

綜上知N=N1+N2+N3=120+120+20=260種。

滲透核心素養：數學建模；數學運算；數據分析

通過上述案例，筆者認為，在新高考背景下做好對學生學科素養能力的培養和提升工作，一定要在“引”上多下功夫，引導學生積極發現、探索，拓展學科知識與生產生活的實際聯系，用解決實際問題的任務驅動激發學生的內驅力，喚醒學生對新知的渴求，不斷積蓄參與學習的熱情，讓學生充分感受數學不僅是作為工具學科而存在的，數學源頭里注入的生活活水，在滌蕩數學美的同時，也能讓我們的生產生活更加有序、高效。