吾愛數學，吾更愛數學文化
——在小學數學課中滲透數學思維

胡曉倩

(重慶市沙坪壩小學 重慶 400030)

2014年秋天，一個偶然的機會，我有幸參與了某辦學單位組織的有關“學習價值”的討論會。討論過程中，學生家長與教師們各抒己見，期間，有部分家長提到了數學學習的價值，他們固執地認為：生活中用到的數學只是簡單的算術知識。數學給予的一切純粹是智力游戲，無任何實際意義。我不禁思考：小學數學教學到底要教給學生什么？難道僅僅是為了學習課本上的數學知識？僅僅是為了應付某次考試？僅僅是為了會解答某類難題？

《課程標準（2011年版）》明確指出：數學課程固然應該教會學生必要的數學知識，但絕對不僅僅以教會數學知識為目標，更重要的是讓學生在學習這些結論的過程中了解數學文化，獲得數學思維。于是，我開始了關于“數學文化之數學思維”的探索與研究[1]。

一、什么是數學思維

數學思維從廣義上講內涵十分豐富，我通俗地把數學思維理解為“將具體的數學知識都忘掉以后剩下的東西”。

數學學科能給予我們很多數學知識。知識和技能固然能幫助我們解決一些實際問題，但數學更大的價值在于，它提供了一種不同于日常思維的新思維方式。數學的思維方式為我們正確認識客觀世界提供了新的工具和視角，它使我們批判地閱讀，識別謬誤，探查偏見，估計風險，并提出變通的辦法，從而增進我們的認識能力和理性力量。

小學階段，學習數學的重要目標之一是讓學生獲得基本的數學思維，從而具備用數學思維方法處理、解決問題的能力，從數學角度看問題的能力。

二、數學思維的分類

數學的基本思維主要指：數學抽象思維，數學推理思維，數學建模思維。

人類通過數學抽象，從客觀世界中得到數學概念和法則，建立了數學學科；通過數學推理，進一步得到大量結論，數學科學得以發展；通過數學建模，把數學知識應用到客觀世界中，產生巨大的效益，反過來又促進數學科學的發展。

由上述數學思維演變、派生、發展出來的思維還有很多，如分類思維、歸納思維、優化思維、轉換思維、有限與無限思維等。

三、數學思維在小學數學實際教學中的應用

《課程標準（2011年版）》指出：數學思維蘊藏在數學知識的形成，發展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。在義務教育階段應結合具體的教學內容逐步滲透數學的基本思維[1]。

案例1：數學抽象思維之集合思維。西南師范出版社《數學文化讀本》三年級上冊P64-68“一共訂了幾種雜志”[2]。

天天訂了《紅領巾》《作文大本營》《小哥白尼》《少年先鋒報》《漫畫世界》5本雜志，波波訂了《小哥白尼》《幽默大師》《漫畫世界》《數學探秘》4本雜志，他們一共訂了幾種雜志？

師：我們可以把天天訂的5種雜志看作一個集合，每一種雜志都是其中一個元素，這個集合由5個元素組成。波波訂的雜志是另一個集合，它由4個元素組成。

師：兩個集合里有元素重復，不能用“5+4=9（種）”直接相加求兩人所訂雜志種類的總和。

生：我明白了，看起來共訂了5+4=9（種），但有2種雜志重復計算了，所以只訂了9-2=7（種）。

學生通過教師的引導，直觀觀察思考，感知數學文化中專門研究集合的數學理論——集合論。數學知識中有很多集合思維。比如，正方形是長和寬相等的特殊長方形。我們可以把全體長方形看作一個集合，把全體正方形看作一個集合，它們的關系又是怎樣的集合關系？

在這里，教師需要當好引導者，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思維和方法，得到必要的數學思維訓練。

簡單的集合思維，能感悟到同類物體具有相同的特性。在課堂活動中，體驗用集合圖表示概念之間的關系，這樣的活動能初步培養學生有條理地思考問題，達到逐步滲透集合思維的目的。

案例2：數學推理思維之一逆向思維。西南師范出版社《數學文化讀本》三年級上冊P69-72“李白買酒與逆向思維”[2]。

李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花飲八口。三遇店和花，喝光壺中酒。請君猜一猜，壺中原有酒。

師：畫圖表示是一種非常重要的分析方法，特別是只知道結果，不知道起始條件的情況。

酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8=0（喝光了）

生1：我們可以從結果開始，一步一步倒推回去。

生2：結果是遇到花鋪3喝了8口喝光了，那么在花鋪3之前就還有8口酒。

師：孩子們，對于這種知道結果和每一步變化過程的題目，可以從結果開始，逆向推回去。

這種思維方式，叫做逆向思維，也叫求異思維。用逆向思維方式解題在數學中很常見。它是從問題的相反面進行深入探索，對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。教師應引導學生敢于“反其道而思之”，讓思維向對立面的方向發展，樹立新思維，創立新形象。讓學生明白：當大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式非常可取。

企業知識型員工無論是成就需要、控制源還是自我效能感的人格預測變量，對人際關系的預測均高于對任務績效和工作奉獻的預測，分析原因可能是由于我國傳統文化一貫重視人際關系，與人為善。工作環境要融洽，不要嚴格；人際關系要簡單，不要復雜，這樣的企業文化將有利于員工把精力投入到工作中，提高工作績效，創造更多勞動成果。而知識型員工要求獲得尊重的需求非常強烈，建議企業的管理者積極創造“以人為本”的企業文化，尊重員工、平等溝通，注重人情味，做到事業留人、感情留人和文化留人。給予員工家庭歸屬感，幫助員工職業成長，創造和諧、健康、團結的企業文化環境。

司馬光砸缸就是一例逆向思維的實例。有人落水，常規的思維模式是“救人離水”，而司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。教學中讓學生感悟，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。

案例3：數學抽象思維之一分類思維。西南師范出版社《數學文化讀本》三年級下冊P42-45“我是家務小能手”[2]。

妮妮當家，任務：整理好晾曬的衣服，倒垃圾。爸爸媽媽和自己的衣服堆放在一起，不知如何下手？垃圾怎么倒才環保？生1：先把爸爸媽媽和妮妮的衣服分開疊好。師：又該如何放進衣柜？

生2：把各自的上衣和上衣放一起，褲子和褲子放一起，裙子和裙子放一起……

生3：為了減少環境污染，變廢為寶，垃圾也要分類處理。

生4：紙類、玻璃、塑料、金屬等可以回收，放進回收垃圾箱；剩菜、剩飯等屬于廚余丟進廚房垃圾箱……

簡單的分類活動，能感悟到同類物體具有相同的特性。在分類活動中，體驗分類結果在單一標準下的一致性，這樣的活動能初步培養學生有條理地思考問題，養成整理物品的習慣。

四、由數學思維內化出數學思考方法

數學思維比一般的數學概念具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質、更深刻。數學思維是與其相應的數學思考方法的精神實質與理論基礎，數學思考方法則是實施有關的數學思維的技術與操作程式。

案例4：我和學生探討“龍龍和爸爸各買一雙皮鞋共用去720元，龍龍的皮鞋價格是爸爸皮鞋價格的80%，龍龍和爸爸的皮鞋各多少元？”經過充分的思考和嘗試后，學生給出了豐富的答案。

生1：爸爸的皮鞋價格為單位“1”，720÷(1+80%)=400（元），從而得到龍龍的皮鞋價格，720-400=320（元）；

生2 ： 用方程解答， 設爸爸的皮鞋價格為x 元，80%x+x=720，x=400因此龍龍的皮鞋價格，720-400=320（元）；

生3：龍龍的皮鞋價格是爸爸皮鞋價格的80%，龍龍的皮鞋價格與爸爸皮鞋價格的比為4：5，720÷(4+5)=80，爸爸的皮鞋價格80×5=400元，龍龍的皮鞋價格80×4=320（元）；

師：比較三種方法，你更欣賞哪一種思路？為什么？這一思路給了你哪些有益的啟示？

……

三種方法都能順利解決問題，但細細琢磨，期間的差別值得玩味。方法一是找到與數量相對應的百分率，因為是未知單位“1”，所以用已知數量除以對應百分率，從而求出單位“1”的量，此種解題方法的關鍵在于確定單位“1”；方法二是建立在等量關系上的方程列式，其間蘊含了數學建模思維派生出來的方程思維，數學建模的初步意識等，都彰顯了數學思考的魅力；方法三反映出解題者的綜合解題能力，巧妙地抓住了“龍龍的皮鞋價格”與“爸爸的皮鞋價格”之間的內在關聯，巧妙地從兩個數量比的角度審視問題結構，反映出學生良好的“題感”及善于從數學角度觀察、分析、解決問題的意識和能力。教師還及時引導學生進行比較，在比較中分析每一思路背后的數學思考方式，在比較中優化，進而在認同中內化為自己的數學思考。

這樣的例子還有很多，又如，在給學生講解等差數列求和公式時，提到“數學家高斯10歲時算出布特納給學生們出的將1到100的所有整數加起來的算術題。布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案，而其他孩子都算錯了。”一個10歲的孩子，能獨立發現等差數列求和的數學方法實屬不易，更能反映出高斯從小就注意把握更本質的數學方法，以及其所蘊涵的數學抽象方法、符號化、模型化及化歸的數學思維等。學生們驚嘆：原來，從數學的角度觀察和思考問題，可以獲得如此簡潔的方法。一種對數學思考方式的認同及數學文化的熏陶深深地潤澤著學生的心田。

現代教育觀點認為：數學教學是數學思維活動的教學。是師生之間、生生之間數學思維交往與共同發展的過程。數學思維是數學文化及數學教學的核心和精髓，它們是基礎知識的靈魂，在小學數學教學中滲透數學思維，并使它們落實到學習和應用數學中能讓學生了解和體會數學文化，提高學生的數學素養，如此，我們的學生除了學會課本上的數學知識以外，還將得到很多，很多。