巧構輔助圓 妙解幾何問題

鄭惠容

(福建省泉州市石獅市華僑中學 362700)

圓的有關知識是每年中考必考的內容之一.縱觀近幾年福建省的中考或質檢的數學試題會發現，最后的兩道壓軸題中有時沒有明顯的圓的身影存在.但如果我們認真審題，就會發現，其實根據題目中的條件，我們可以自己構造一個輔助圓.那么怎樣構造輔助圓呢？筆者結合實例，談談構造輔助圓的基本做法.

一、立足基礎，利用圓的定義構造輔助圓

根據圓的定義：到一個定點的距離等于定值的點在同一個圓上.這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.

例1(2016-2017學年福州市期末試題)如圖1，C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在AB的同側作等邊三角形△HAC與等邊△DCB，連接DH.

(2)在(1)的條件下，作點C關于直線DH的對稱點E，連接AE，BE，求證：CE平分∠AEB;

(3)現將圖1中△DCB繞點C順時針旋轉一定角度α(0°<α<90°)，如圖2,C關于直線DH的對稱點為E，則(2)中的結論是否成立并證明.

分析(3)根據對稱性可知：HE=HC，又因為AH=HC,從而有HC=HA=HE，即A、C、E三點共圓.同理可知B、C、E三點也共圓.

證明(1)(2)略.

(3)結論仍正確.理由如下：

如圖3,由對稱性可知：HC=HE.

又∵HA=HC，∴HC=HA=HE,

∴A、C、E三點都在以點H為圓心，HA為半徑的圓上.

∴∠AEC=∠BEC,∴EC平分∠AEB.

本題解題的關鍵在于能夠根據圓的定義，發現A、C、E三點在以點H為圓心的圓上，同樣B、C、E三點在以點D為圓心的圓上，這樣做出輔助圓后，就可利用圓周角定理解決問題了.

二、能力導向，利用90°的圓周角所對的弦是直徑得到輔助圓

如果題目中出現三角形有一內角為90°，有時可以利用90°的圓周角所對的弦是直徑得到輔助圓，然后把問題轉化為圓中的問題，利用與圓有關知識來解決相關的問題，這體現了能力導向下培養學生數學思維.

例2(2013年福建省泉州市質檢試題)如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm,BC=5cm，點P從點C出發沿射線CA以每秒2cm的速度運動，同時點Q從點B出發沿射線BC以每秒1cm的速度運動.設運動時間為t秒.

(1)(2)略.

(3)若∠ACB的平分線CE交△PCQ的外接圓于點E.試探求：在整個運動過程中，PC、QC、EC三者存在的數量關系式，并說明理由.

解(3)當0

∵∠ACB=90°,∴PQ是△CPQ外接圓的直徑,

∴∠QEP=90°即∠QEC+∠PEC=90°.

又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°,

∴∠QCE=∠PHE=45°,

∴△QCE≌△PHE(AAS),∴QC=PH.

在Rt△HEC中，EC2+EH2=HC2,EC=EH,

本題中，題目中并沒有給出圓，這時要根據題目中給出的條件，畫出△CPQ的外接圓，這樣才能結合圓的有關性質、全等三角形和勾股定理來解決問題.

三、關注差異，作三角形的外接圓

我們知道，不在同一直線的三點確定一個圓，有時可以利用這個基本事實來作輔助圓，特別是當三角形的一邊為定值，而第三個頂點是一個動點時，要求與角有關的問題，可嘗試作出輔助圓，看是否可以把問題轉化為圓的有關計算.這需要更高層次的思維，因此，要關注學生差異，撫平臺階，讓不同學習水平的學生得到不同程度的發展.

例3(2015年福建省泉州市質檢試題)如圖7，O是坐標原點,過點A(-1,0)的拋物線y=x2-bx-3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，其頂點為D點．

(1)求b的值．

(2)連結BD、CD，動點Q的坐標為(m,1)．

①當四邊形BQCD是平行四邊形時，求m的值；

②連結OQ、CQ，當∠CQO最大時，求出點Q的坐標.

分析我們發現(2)中②問題中的△CQO的邊OC是個定值，所以可大膽地構造出△CQO的外接圓⊙M，從而把∠CQO轉化為圓心角∠CMO的一半來求.

解(1)(2)①略.

∴sin∠CQO的值隨著OM的增大而減小.

又∵MO=MQ，∴當MQ取最小值時sin∠CQO最大，

即當MQ⊥直線y=1時，∠CQO最大，

此時⊙M與直線y=1相切.

∴Q1(2,1).

根據對稱性，另一點Q2(-2,1)也符合題意.

綜上所述，Q1(2,1),Q2(-2,1).

我們也可以設⊙M與x軸交于點A(如圖9)，這樣就可以直接利用同弧所對的圓周角相等，把∠CQO轉化為Rt△OAC中的∠OAC來解決.

本題的成功之處在于構造了過O、C、Q三點的⊙M，從而利用圓周角與圓心角之間的關系或同弧所對的圓周角相等、垂徑定理、銳角三角函數的定義以及直線與圓的位置關系來解決問題.

從上面的幾個例子我們可以發現，有些問題看似與圓無關,但根據問題的題設、結論或是圖形提供的某些與圓的性質相關的信息,可以構造出輔助圓,然后就可以利用圓的相關性質來解決問題.事實告訴我們，只要能掌握好構造圓的基本方法構造出輔助圓，很多看似很難的幾何問題就可以迎刃而解.輔助圓，是解決相關幾何問題的“金鑰匙”.