“同心協(xié)力”數(shù)學模型的優(yōu)化設計

李相斌 徐文軒

摘?要：研究2019年全國大學生數(shù)學建模競賽B題，“同心協(xié)力”是一項團隊協(xié)作能力拓展項目。此項目以團隊各人員用繩牽拉牛皮鼓顛球，通過合格的顛球數(shù)量比拼。本文綜合運用數(shù)學與物理學知識，建立數(shù)學模型，通過分析顛球的最佳高度及鼓面傾斜角度，來實現(xiàn)該項目的優(yōu)化設計。

關(guān)鍵詞：二階微分方程組;剛體轉(zhuǎn)動定律;疊加原理

一、緒論

“同心協(xié)力”是一項富有思想性、挑戰(zhàn)性和趣味性的活動，培養(yǎng)人們積極進取的人生態(tài)度和團隊合作精神，是一種現(xiàn)代人和現(xiàn)代組織全新的學習方法和訓練方式。為了優(yōu)化團隊顛球的過程，本文將通過結(jié)合數(shù)學和物理知識建立模型對該項目進行研究。

二、模型假設

（1）設球與鼓接觸時恰繩拉直，以球與鼓接觸點為坐標原點建立直角坐標系;

（2）忽略該項目比賽時自然風產(chǎn)生的外力、球與鼓接觸時所產(chǎn)生的摩擦力;

（3）球與鼓接觸時發(fā)生彈性形變所產(chǎn)生的間隔的距離和時間忽略不計;

（4）若干分鐘后球（在>=40cm范圍以上）保持平穩(wěn)狀態(tài);

（5）假設問題中八名隊員在圓周方向上均勻站位;

（6）不考慮能量損耗。

三、模型的建立與求解

（1）定義說明同心鼓作為剛體，不同位置的人向上拉時同心鼓可以看作做剛體轉(zhuǎn)動如圖1。通過對問題的分析，本文以豎直向下為正方向，豎直向上為負方向建直角坐標系，已知球下落的時間與鼓上升的時間相同。取空氣密度ρ氣=1.29×10-3kg·m-3（20℃時）。垂直下落的球受到重力mg、空氣浮力ρ氣Vg和空氣黏滯阻力12ρ氣CdSv2三個力的作用，其中m、M為球、鼓的質(zhì)量，g是重力加速度，V為球的體積，Cd為空氣阻力系數(shù)，S1 、S2為球、鼓的最大橫截面積，v1、v1為球、鼓相對于空氣的速度。