運用“基本圖形”提高幾何解題能力的策略探究

摘要：在中考中幾何的證明與計算一直考查學生數學綜合解題能力一種重要題型，而我們的學生普遍存在幾何解題能力薄弱，幾何解題思路形成障礙，教師教學忽視對學生幾何解題思路的有效指導等問題。我們知道研究幾何的重要方法就是研究幾何的基本圖形，本課題基于教師在平時幾何教學中，通過對基本圖形和性質的歸納總結，引導學生從復雜幾何圖形中分離并提取基本圖形，最后利用基本圖形來解決較為復雜的幾何問題，從而提高學生的幾何解題能力和幾何思維能力。

關鍵詞：基本圖形;解題;探究

本文作者從以下方面展開對幾何基本圖形的研究：

一、 基本圖形的歸納和總結是有效提高幾何解題能力的前提

（一）通過概念定理教學，引導學生歸納提煉基本圖形

教師在幾何概念、定理、性質教學中，要引導學生有意的歸納和總結與核心幾何知識緊密相關的定理型基本圖形，充分建立起基本圖形和性質定理的關聯。在學生掌握基本圖形的同時，加深了對幾何知識的直觀理解，也培養了學生的反思習慣和歸納能力。

①定義型基本圖形——加深概念理解

【舉例1】學習七下1.2同位角、內錯角和同旁內角概念時，總結三種基本圖形。（如圖1）

第一種：同位角（F型）;第二種：內錯角（Z型）;第三種：同旁內角（U型）;

通過把概念轉化為基本圖形，讓學生加深理解，再做復雜圖形中找角的練習，就可以轉化為找相應的基本圖形，可以快速準確地找到。

【舉例2】學習九上4.3相似三角形概念時，歸納六種基本圖形。（如圖2）

通過總結歸納六種相似三角形的基本圖形，可以加深學生對于圖形中邊和角的對應關系，學生可以在一些復雜的相似三角形圖形中快速準確地找到相似三角形。

②定理型基本圖形——促進性質理解

在幾何教學中，把課本核心的定理以基本圖形的形式體現出來，讓學生以直觀的幾何圖形來掌握定理，讓文字語言、圖形語言和符號語言有機結合。加深學生對于定理的理解，促進學生對于定理的記憶。

【舉例3】學習九上3.3垂徑定理和3.4圓心角定理時，總結出基本圖形，加深直觀理解。（如圖3）

通過總結基本圖形，不僅能夠使學生知道垂徑定理和圓心角定理的內容，同時也能使學生對于該定理的推理過程有直觀顯性的理解載體，由基本圖形構建知識網絡，提高學習的效率，鍛煉學生幾何思維能力。

【舉例4】學習九下2.2切線長定理時，總結出基本圖形。（如圖4）

通過總結基本圖形，不僅能夠使學生知道切線長定理的內容，更能使學生知道和理解該定理的證明過程，以及由此基本圖形推導得出其他結論。

教師在幾何教學中，要重視在教學核心基本定理時，引導學生總結歸納相應的基本圖形，用幾何語言來表述定理，滲透這種理解、記憶幾何定理的方法，提高學生解決幾何問題的能力。

（二）通過典例組圖教學，促使學生構造積累基本圖形

①典例型基本圖形——簡化思維過程

在幾何教學中，把教材及教學用書中經常出現地能反映核心知識的例題、重要結論所蘊含的圖形進行歸納提煉積累，在解決幾何問題中可以幫助簡化思考過程，快速形成解題思路。

【舉例5】學習九上4.5相似三角形的性質及應用（3）作業題5：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上。求加工成的正方形零件的邊長。（如圖5）

這個基本圖形用到相似三角形對應邊上的高之比等于相似比的性質，圖形比較典型，涉及的知識也是相似三角形的重要性質，學生熟練掌握這個圖形與性質，能夠簡化解決類似幾何問題的思考過程。

【舉例6】在研究核心幾何問題時，經常出現（如圖6）所示的典型圖形，所涉及的知識點也是幾何的核心知識點。通過這類典型性幾何基本圖形的研究，可以使學生的解題形成典型性思維塊。

如圖6.1，結論是EF=BE+DF;它的證明方法具有典型性，需要旋轉變化、分散線段集中以及全等三角形的知識或者截長補短的輔助線添法。

如圖6.2，三等直角基本圖形，形成左右兩個相似三角形，得到成比例線段，此圖應用非常廣泛。

②組合型基本圖形——深化知識聯系

結合教材中出現的習題，以及有些常見的基本圖形不是單一型的，而是由若干個定理型基本圖形組合而成的，通過這些常見的組合型基本圖形的研究和提煉，不僅可以簡化學生的解題思路，而且可以加強知識之間的聯系。

【舉例7】將若干個簡單常見的概念定理型基本圖形結合在一起，形成一系列組合型基本圖形庫，舉例如圖7。

如圖7.1，是一個常見的組合型基本圖形，主要涉及平行線和角平分線的組合，得到等腰△ADE。

如圖7.2，也是一個非常廣泛的組合型基本圖形，涉及等邊三角形和全等三角形。

如圖7.3，條件是任意三角形兩條高線，并連接兩個垂足所形成的基本圖形，本圖是相似三角形“斜A型”和“斜X型”的組合圖形，共有8對相似三角形，很多幾何問題經常涉及此圖形。

（三）通過變式拓展教學，促進學生透徹理解基本圖形

通過基本圖形的變式拓展學習，能使學生加深對基本圖形和性質的靈活應用，既讓學生經歷體會到從“特殊到一般”的數學思想，又充分培養學生的幾何探究能力，另外運用變式訓練可以有效提高基本圖形的利用，有效培養學生的綜合思考能力，讓學生體會到形式改變，本質不變的探究方法。

【舉例8】將圖7.2的基本圖形，改變條件，繞點B進行旋轉任意角度，仍舊可以得到△ABE≌△CBD（如圖8.1）

變式1：將兩個有公共頂點的等邊三角形變成兩個有公共頂點的等腰直角三角形（直角頂點為公共頂點）仍舊可以得到△ABE≌△CBD（如圖8.2，8.3）

變式2：將兩個三角形變成兩個頂角相等的有公共頂點額等腰三角形（頂角為公共頂點），仍舊可以得到△ABE≌△CBD（如圖8.4）

通過對基本圖形進行變式拓展研究，讓學生在進一步加深對基本圖形的認識的同時，又促使學生發現基本圖形所反映的性質的本質屬性，提煉出最本質的基本圖形（圖8.4），完善了核心圖形。

【舉例9】將圖6.1的基本圖形，改變條件，將正方形改成等腰直角三角形其他條件不變，（如圖9.1），線段BM、MN、NC之間的關系發生了改變，變成了BM2+CN2=MN2，證明思路仍舊是利用旋轉變換，把三條線段集中在一個三角形中。（如圖9.2）

變式1：將正方形ABCD改成：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°。E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°。探究圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系。（如圖9.3）

類似旋轉變換方法，仍舊可以得到EF=BE+DF。

變式2：進一步改變條件：如圖9.4，只滿足AB=AD，∠B+∠D=180°。且∠EAF=12∠BAD，三個條件。上述結論EF=BE+DF是否仍舊成立？通過旋轉變換仍舊可以證明結論成立。

通過兩個變式，把基本圖形6.1所滿足的條件進行了一般化，只要滿足變式2的三個條件，就可以得到結論成立。

在利用基本圖形提高幾何解題能力中，通過對基本圖形變式拓展研究，培養學生透徹理解圖形本質特征，提煉基本圖形要滿足的本質條件，幫助學生利用較少時間，解決典型變式，有效提高幾何問題的解決能力和幾何思維能力。

二、 基本圖形的提取和運用是有效提高幾何解題能力的方法

（一）通過簡單顯性圖形教學，培養學生快速提取基本圖形能力

有些簡單的幾何圖形，非常容易就可以發現蘊含著的基本圖形，那么就要求學生能夠快速準確地找出基本圖形，并形成解題思路。此類問題面向不同層次學生都可以掌握。

【舉例10】如前面所述：2013年杭州市中考題

根據題目中的條件，并觀察圖形，我們可以快速地發現“三等角”基本圖形（如圖10），從而得到△APE∽△CFP，迅速解決前面兩個小題。

（二）通過復雜顯性圖形教學，培養學生分解提煉基本圖形能力

有些較為復雜的幾何問題，由于圖形較為復雜，不容易直接提煉出基本圖形，這時要重現圖形的產生過程，抓住重要核心條件，并根據重要條件進行分解、聯想最后提煉出若干個基本圖形。

【舉例11】2014年杭州市中考題

已知AD∥BC，AB⊥AD，點E、F分別在射線AD，BC上，若點E與點B關于AC對稱，點E、F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（）

A. 1+tan∠ADB=2

B. 2BC=5CF

C. ∠AEB+22°=∠DEF

D. 4cos∠AGB=6

根據題目中的條件和圖形，我們可以分解并提煉出基本圖形“同側公共邊解Rt△”（如圖11），從而通過解兩個Rt△，快速形成解題思路。

（三）通過局部隱性圖形教學，培養學生嘗試構造基本圖形能力

有些幾何問題，圖形中沒有非常明顯的基本圖形，只有局部圖形，這時要通過挖掘圖中的重要（核心）條件，進行熟練嘗試和比照相關的基本圖形，通過添加輔助線來構造熟悉的基本圖形，從而形成解題思路。

【舉例12】2014年拱墅區九年級中考模擬試卷

如圖12，已知第一象限內的點A在反比例函數 y=1x上，第二象限的點B在反比例函數y=kx上，且OA⊥OB，sinA=33，則k的值為（）

如圖12，根據通過重要條件直角，通過添垂線，構造“三等直角”基本圖形，馬上形成解題思路。

【舉例13】2014年拱墅區九年級中考模擬試卷

如圖13.1，在直角坐標系中，點P（3，3），兩坐標軸的正半軸上有M、N兩點，且∠MPN=45°，則△MON的周長等于。

如圖13.2，根據條件45°，嘗試構造如圖6.1基本圖形，迅速得到此圖結論MN=EM+FN。

【舉例14】2009年杭州中考

如圖，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠FPC=（）

A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°

本題涉及的圖形是一個局部的隱性圖形，要形成解題思考，關鍵是抓住本題的核心條件：中點和垂直，聯系基本圖形，添加輔助線，構造基本圖形。（如圖14.3，全等三角形基本圖形，如圖14.4，直角三角形斜邊上中線基本圖形）。

綜上，運用基本圖形尋找幾何解題思路，提高學生幾何解題能力是一種有效的方法，為學生的幾何解題提供了一種思維方式，讓學生體會到解決幾何問題時有規律和方法可循的。

本文筆者通過分析學生幾何解題存在問題的原因，提出了培養學生運用“基本圖形”提高幾何解題能力的課題。研究了根據幾何基本圖形的分類運用多種教學形式進行歸納和總結的策略：基本圖形解題和思路、基本圖形的歸納和總結、基本圖形的提取和運用。以此來激發學生學習幾何的興趣，獲得幾何問題解題思路形成的經驗，提高較為復雜的幾何問題的解題能力、問題分析能力、邏輯推理能力。

參考文獻：

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[2]柯偉賢.提煉基本圖形妙解幾何命題[J].中學數學研究，2015（8）.

[3]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

作者簡介：

孫立剛，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區新桐初級中學。