數(shù)列學(xué)習(xí)中哲學(xué)思想的挖掘與啟示

汪海燕

(浙江省臺(tái)州市黃巖區(qū)第一職業(yè)技術(shù)學(xué)校 浙江臺(tái)州 318020)

恩格斯指出：“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式，沒(méi)有數(shù)學(xué)，看不到哲學(xué)的深度；沒(méi)有哲學(xué)，看不到數(shù)學(xué)的深度，而沒(méi)有兩者，人們就什么也看不透。”恩格斯的這一論述指明了數(shù)學(xué)和哲學(xué)之間的關(guān)系，把數(shù)學(xué)劃歸到了哲學(xué)范疇。而哲學(xué)是一切自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的概括和總結(jié)，是世界觀和方法論的統(tǒng)一。對(duì)于數(shù)學(xué)，著名數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心情最獨(dú)特的創(chuàng)作；哲學(xué)能使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上一切。”因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，不能僅體現(xiàn)基礎(chǔ)工具的價(jià)值性、廣泛的應(yīng)用性，還要體現(xiàn)文化素養(yǎng)、思維發(fā)展的價(jià)值。從更高層面而言，數(shù)學(xué)教育還應(yīng)體現(xiàn)哲學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生獲得真正的智慧。然而，數(shù)列學(xué)習(xí)是發(fā)展學(xué)生思維能力、凸現(xiàn)哲學(xué)思想的絕好素材。因此，筆者通過(guò)數(shù)列的學(xué)習(xí)，談?wù)勂涮N(yùn)含的哲學(xué)思想及啟示。

一、數(shù)列學(xué)習(xí)中，“變”與“不變”

唯物辯證觀點(diǎn)認(rèn)為，“變”與“不變”是針對(duì)事物運(yùn)動(dòng)和相對(duì)靜止兩種狀態(tài)的分析，不變是相對(duì)的，變是絕對(duì)的。[1]但它們?cè)谝欢l件下，又可相互轉(zhuǎn)化。例如，數(shù)列學(xué)習(xí)中的等差或等比定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)d。

那么，這個(gè)數(shù)列就叫做等差(比)數(shù)列。教師在教學(xué)時(shí)，如果僅僅讓學(xué)生記住或運(yùn)用上述這些知識(shí)，而沒(méi)有讓學(xué)生體會(huì)到“變”與“不變”這一深刻的哲學(xué)思想內(nèi)涵，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。否則，結(jié)果只能導(dǎo)致學(xué)生在求等差數(shù)列(或等比數(shù)列)的通項(xiàng)公式an、求和sn上打轉(zhuǎn)，知識(shí)內(nèi)涵得不到深刻理解，聯(lián)系的思維網(wǎng)絡(luò)難以建構(gòu)。不管是等差數(shù)列、等比數(shù)列，還是一般的數(shù)列，在不停變化的每一項(xiàng)之間，總會(huì)存在某些規(guī)律性的、本質(zhì)的東西。

案例1：數(shù)列單元復(fù)習(xí)時(shí)，等差數(shù)列等價(jià)定義的構(gòu)建。

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)這些等價(jià)公式，總結(jié)出等差數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式在不同題目中的運(yùn)用，體會(huì)定量與變量之間的關(guān)系，促使知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰Α?/p>

二、數(shù)列學(xué)習(xí)中，“個(gè)性”與“共性”

唯物辯證法認(rèn)為，事物之間是具有聯(lián)系的，普遍存在“個(gè)性”和“共性”，二者互相依存。哲學(xué)上認(rèn)為共性是對(duì)事物個(gè)性的綜合，根據(jù)個(gè)體的特點(diǎn)展現(xiàn)出不一樣的個(gè)性，這就是哲學(xué)上常說(shuō)的“共性寓于個(gè)性之中”。同理，如果離開(kāi)了共性的參考，個(gè)性也就不存在了。那么，如何運(yùn)用這一哲學(xué)思想去認(rèn)識(shí)數(shù)列學(xué)習(xí)中的有關(guān)知識(shí)呢？

案例2：教材習(xí)題的一個(gè)教學(xué)片斷：

設(shè)等差數(shù)列的{an}的前n項(xiàng)和公式，求它的前3項(xiàng)，并求它的通項(xiàng)公式。教師在教學(xué)時(shí)，在實(shí)施了多種解法后，又引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式。

變式1：若將上述題設(shè)條件“等差數(shù)列”去掉，又如何求其通項(xiàng)公式呢？

問(wèn)題出示后，學(xué)生很自然的想到前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an的關(guān)系式的運(yùn)用。

又由于a1=8=10×1-2。因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式an=10n-2。

此時(shí)，有一位同學(xué)S1舉手說(shuō)：

這時(shí)，另一位同學(xué)S2舉手回答說(shuō)：“當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1-S0，其中S0是沒(méi)有意義的。”

同學(xué)S1又問(wèn)：“既然Sn表示數(shù)列前n項(xiàng)和，那么，S0就表示前0項(xiàng)和，我們就可認(rèn)為S0＝0。a1我們就不另加討論了。”

筆者一方面驚訝于學(xué)生的創(chuàng)新思維；另一方面，也驚訝于學(xué)生話語(yǔ)中的合理成份。事實(shí)上，“S0＝0”符合我們的習(xí)慣思維。那么，如何解釋或促使學(xué)生正確理解呢？我把問(wèn)題又作如下變式，讓學(xué)生去思考、去討論：

學(xué)生通過(guò)解答嘗試，此時(shí)，他們終于發(fā)現(xiàn)了a1=S1=10，而不再滿足：

為什么呢？矛盾的出現(xiàn)，從而進(jìn)一步激活了學(xué)生的情感結(jié)構(gòu)，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也高漲起來(lái)，通過(guò)熱烈討論，找出S0＝0不合理的原因：在等差數(shù)列中，我們知道公差d是從第2項(xiàng)開(kāi)始定義的，即

到此，學(xué)生明白“a1=S1”與“an=Sn-Sn-1(n≥2)”的關(guān)系是個(gè)性與共性的關(guān)系。有時(shí)，個(gè)性會(huì)淹沒(méi)共性；而有時(shí)，個(gè)性會(huì)得到張揚(yáng)。隨著筆者教學(xué)時(shí)這種哲學(xué)思想的滲透，驚喜地發(fā)現(xiàn)學(xué)生在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，不再一味地套用公式，而是從更高層次去思考面臨的問(wèn)題。

三、數(shù)列學(xué)習(xí)中，“局部”與“整體”

唯物辯證法認(rèn)為，整體居于主導(dǎo)地位，整體統(tǒng)率著局部，具有局部所不具備的功能；局部在事物的存在和發(fā)展過(guò)程中處于被支配的地位。在數(shù)列中，潛在著許多內(nèi)容和關(guān)系，涉及到“局部”與“整體”問(wèn)題。教師在教學(xué)時(shí)，如果能善于發(fā)掘教材內(nèi)容中“局部”與“整體”的潛在關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，去變換、去探索、去創(chuàng)造。同時(shí)，使學(xué)生對(duì)某個(gè)“局部”內(nèi)容的“好感”轉(zhuǎn)移到學(xué)習(xí)的“整體”內(nèi)容，拓展知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握。例如，我們?cè)谇蠼鈹?shù)列極限值時(shí)，要先觀察數(shù)列，找到數(shù)列的規(guī)律，對(duì)其進(jìn)行定性，掌握數(shù)列整體規(guī)律，在結(jié)合規(guī)律中的局部定義進(jìn)行討論，這類問(wèn)題就可以迎刃而解了。[2]

案例3：求下列數(shù)列的極限

數(shù)列的極限的定義是：若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn無(wú)限趨近于某一固定的常數(shù)A，則A就為數(shù)列{xn}的極限。這就意味著求數(shù)列{xn}的極限，只須看當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，xn是否無(wú)限趨近于某一固定的常數(shù)A？數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng)不管數(shù)值怎么變化，都不影響它的極限值，即以上兩個(gè)數(shù)列的極限都是0。

到此，學(xué)生掌握了此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)和規(guī)律，若遇到類似的問(wèn)題，也就能迎刃而解。同時(shí)，教師通過(guò)探索創(chuàng)造，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。

四、數(shù)列學(xué)習(xí)中，“特殊”與“一般”

“特殊”和“一般”是中學(xué)數(shù)學(xué)重要理念。典型例題和數(shù)學(xué)概念就體現(xiàn)了這一點(diǎn)。我們可以把數(shù)學(xué)概念和定律看做是一般問(wèn)題，典型例題看做是一般規(guī)律的個(gè)性化。[3]典型例題是數(shù)學(xué)教師經(jīng)常運(yùn)用到的素材，往往會(huì)通過(guò)觀察特殊圖形、特殊取值等方式進(jìn)行解題。數(shù)列中的定義域問(wèn)題，是通過(guò)把問(wèn)題特殊化來(lái)進(jìn)行研究，研究特殊取值對(duì)數(shù)列的影響，從而幫助學(xué)生加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的了解和運(yùn)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的數(shù)學(xué)思維大有裨益。“從特殊到一般，再由一般到特殊”正是這一數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)。數(shù)列學(xué)習(xí)中，特殊與一般這一重要的哲學(xué)思想普遍存在與滲透。

例如，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

即對(duì)任何的n∈N*都有。我們?nèi)绻\(yùn)用這一思想方法進(jìn)行解題分析、探求思路，可使學(xué)生迅速尋找到問(wèn)題解決的思路。

案例4：設(shè)數(shù)列a1，a2…，a6是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，能否將此數(shù)列刪去兩項(xiàng)，使得余下的項(xiàng)組成的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等比數(shù)列？若能，寫(xiě)出這個(gè)等比數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由(江蘇高考卷改編)。

不妨從特殊的或簡(jiǎn)單的情形入手試試：

能不能從上面的討論中找到有價(jià)值的“東西”呢？不難發(fā)現(xiàn)：上述兩種情形中的問(wèn)題含有原等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，如果等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則其公差d一定為0呢？設(shè)為等差數(shù)列中任意連續(xù)三項(xiàng)，它們?nèi)舫傻缺葦?shù)列，則有

因此，要想使刪去兩項(xiàng)后余下的四項(xiàng)成等比數(shù)列，必須保證余下的四項(xiàng)中不含原等差數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)。根據(jù)等差、等比數(shù)列的共性，討論以下幾種特殊取值：

情況(3)中的數(shù)列若成等比數(shù)列,

綜上可述，不能將此數(shù)列刪去兩項(xiàng)，使得余下的項(xiàng)組成的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等比數(shù)列。

實(shí)踐出真知，筆者多年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)再一次詮釋了哲學(xué)和數(shù)學(xué)密不可分關(guān)系。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握能力固然重要，但是更重要的學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析能力，只有精準(zhǔn)的審題、舉一反三的解題思維，才是數(shù)學(xué)考試的制勝法寶。

五、數(shù)列學(xué)習(xí)中，“量變”與“質(zhì)變”

“量變”和“質(zhì)變”是事物發(fā)展過(guò)程中歷經(jīng)的階段。其中，“量變”是更容易被人們觀察到的數(shù)量和程度上的變化。比如，多少、快慢等。“質(zhì)變”則是不易被人們觀察到的本質(zhì)的變化。哲學(xué)上把這二者看作是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，量變是質(zhì)變的基礎(chǔ)，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果。在數(shù)列學(xué)習(xí)中，有相當(dāng)多的學(xué)生對(duì)于“0.9=1”覺(jué)得無(wú)法理解，總認(rèn)為0.9應(yīng)該小于。事實(shí)上，這就是在教學(xué)中沒(méi)有有效滲透“量變”與“質(zhì)變”這一哲學(xué)思想的后果。對(duì)于0.9應(yīng)該小于，學(xué)生的合理解釋是0.9＜1(1個(gè)9)；0.99＜1(2個(gè)9)；0.999＜1(3個(gè)9)；……；0.999……＜1(無(wú)窮個(gè)9)。不可否認(rèn)，學(xué)生的解釋有其合理的成份，但卻是錯(cuò)誤的。因?yàn)?n個(gè)9，n有限)(無(wú)限個(gè)9)。

事實(shí)上，這種情況無(wú)窮相加，接近于1和有限相加接近于1具有本質(zhì)的區(qū)別。有限發(fā)展到一定境界下，將會(huì)進(jìn)入另一個(gè)循環(huán)，這就是無(wú)限理念的體現(xiàn)。無(wú)限理念是數(shù)學(xué)思維的重要一環(huán)，通常無(wú)限數(shù)目相加得來(lái)的和，并不一定是某一個(gè)具體的代數(shù)，還可以是一個(gè)無(wú)窮值，我們把它稱之為“部分和”的極限，即無(wú)限個(gè)相加不再是有限個(gè)相加的自然過(guò)渡，而是發(fā)生了質(zhì)的變化。當(dāng)然，量變和質(zhì)變既有區(qū)別，又有聯(lián)系，兩者之間有辯證關(guān)系。量變能引起質(zhì)變，質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)工作中起重要作用。對(duì)任何n個(gè)9，n有限，都小于1，發(fā)生的都是量變，不是質(zhì)變。但是，不斷地讓n增加，經(jīng)過(guò)無(wú)限過(guò)程之后，0.9=1，發(fā)生的是質(zhì)變了。這就是借助極限法從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變。

教師在教學(xué)中，必須讓學(xué)生明白有限個(gè)相加與無(wú)限個(gè)相加的本質(zhì)區(qū)別，即要明白從有限個(gè)相加到無(wú)限個(gè)相加，發(fā)生的不僅僅是量變，而重要的是發(fā)生了質(zhì)變。否則，發(fā)生下面的錯(cuò)誤是難免的，即認(rèn)為

六、結(jié)束語(yǔ)

哲學(xué)是反映客觀世界發(fā)展規(guī)律的學(xué)科，也是新時(shí)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念的源泉。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，要把數(shù)學(xué)思維和哲學(xué)思維進(jìn)行辯證統(tǒng)一，指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中的千變?nèi)f化，抓住學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。由于在人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，要不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、演繹證明、反思建構(gòu)等思維過(guò)程。而哲學(xué)思想，特別是辨證思想?yún)s參與整個(gè)思維過(guò)程，使之做出合理的思考與判斷，形成理性思維。而且也是教學(xué)中貫徹知識(shí)性和思想性相統(tǒng)一原理，教學(xué)與育人相統(tǒng)一原理的需要，是數(shù)學(xué)學(xué)科道德的要求。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要講推理，更要講道理，并且還要講哲理。