把握核心思想 強化學生二次函數解題能力

李 朝

(湖北省湖北大學附屬中學 430062)

一、二次函數試題的一般解題路徑及其核心思想

一次函數的幾何特性是直線,二次函數則有明顯不同，其幾何特性是曲線.這種差異使得很多在學習時不善于運用數形結合方法的學生產生了學習障礙，而一些善用數形結合方法的學生又可能因數學四則運算不熟練而出現解題失誤.

從本質上看，二次函數解題錯誤的根本問題在于二次函數的代數和幾何特性都在試題中有較高的出現率(一次函數試題中代數運算的考察比重更高)，在一些復雜問題中學生容易找不到問題的關鍵點，進而出現錯誤.因此，本文認為二次函數的解題關鍵在于把握問題的核心，從而尋找最適合的數學方法來解決相應問題.例如試題“函數y=x2+2ax+b的圖象與x軸交點分別為A、B，與y軸交于點C(0，2)，已知三角形ABC面積為6，求a、b的值.”該問題的題干中同時給出了二次函數的代數(函數式)和幾何性質(坐標系中的點)要素，多數學生會習慣性地繪制函數圖形來分析問題，然后把重點放在求A、B兩點的坐標上，這時學生必然會發現在圖形中難以準確判斷A、B坐標點，仍要回歸到函數關系上來(僅借助三角形面積知識求取交點差值來獲取函數值為0時兩個解的差值，即SABC=(|x1-x2|·2)/2=6)，把結果代入二次函數根的計算公式即可求出a、b的值.

因此，解決二次函數問題的一個核心思想是判斷題目所要考察的問題，雖然題目中對于二次函數代數和幾何特性的展現頻率都相對較高，但實際考察的內容仍會以代數性質為主.因此要注重培養學生提煉關鍵條件和要素并嘗試轉化的能力，最終向二次函數及其根的代數形式靠攏，把握轉化和簡化這一核心思想來解決所有二次函數問題.

二、二次函數解題中主要轉化思想

二次函數問題的一般解決方法是轉化，但所應用的轉化思想較為多樣，其中典型的轉化思想有如下三種，教師可根據學生弱項進行強化訓練.

第二種，對稱簡化.對稱性是二次函數的特有幾何屬性，該屬性是函數計算中隱藏的條件，少數初中二次函數問題中會考察這一知識點，大多數不考察該知識點的問題也能夠使用這一特性來簡化運算.建議教師先對函數對稱的代數表現進行詳細分析，重點說明函數最值和根為中心點，兩側函數的對稱性，由此在應用中發現題目中有成對根、最值點坐標等關系時，先考慮二次函數的對稱性，利用這一性質來豐富有效條件并輔助解題.

第三種，聯想轉換.聯想轉換是一種更復雜但也更高效的數學轉化思想，一般在高中及以上層次的數學學習及應用中出現率較高，但對于一些難度較高的初中二次函數問題也有奇效.比如“已知二次函數y=x2+2ax+b兩個根的大小關系(x1

三、二次函數解題能力強化訓練的建議

結合前文分析來看，二次函數解題能力的關鍵不在于掌握一種絕對正確的解題法，而是要掌握正確的解題思路和豐富的數學思想，由此實現一通百通的理想效果，筆者建議教師可以在教學中通過如下方法來培養學生的解題能力：

第一，培養學生的審題習慣.在課堂練習過程中，教師應經常性地對問題進行解析，按照題干要素收集、問題定位與本質識別、問題關聯有效要素的篩選這三個步驟對問題進行提煉，通過這種說題方法不斷培養學生科學審題的習慣，幫助學生準確把握核心問題.

第二，盡可能要求學生一題多解，以多樣嘗試鞏固轉化方法運用熟練度.即在多樣化的嘗試中提高學生對二次函數核心性質、計算公式的理解與應用水平，也豐富學生的解題經驗，讓學生較早地熟悉絕大多數二次函數知識應用和考察形式.

第三，及時總結和反思，梳理轉化方法的適用情境.即在經過一定量的訓練后，教師應當對二次函數解題時使用的三類轉化方法進行總結，直接說明所運用的具體數學思想，讓學生充分認識也認同數學思想在解題中的價值，從而將相應數學思想拓展應用到其他數學知識的學習和應用中去，在強化學生數學思想應用能力的同時也強化其應用此類思想解決二次函數問題的能力.