解一元二次方程中的誤點例析

楊紅余

(甘肅省平涼市第四中學 744000)

一、忽視二次項系數是否為零

我們知道，對于方程ax2+bx+c=0，當二次項的系數a≠0時，才能稱ax2+bx+c=0是一元二次方程.如果不注意a是否為零這個限制條件，很容易導致解題失誤.

例1 關于x的方程(k-1)x2+2x+3=0，當k為何值時，該方程

(1)有兩個不相等的實數根？

(2)有實數根？

剖析原方程的二次項x2的系數是k-1，而k-1有可能是零，此時原方程不是二次方程，不能用判別式法求解.

(2)該方程不一定是二次方程，需對k-1是否為零分類求解.

①當k-1≠0時，是二次方程，由方程有實根，應有

二、忽視了方程的根是否是實根

例2 如果方程2x2+(a2-3a-10)x+2a=0的兩個實根互為相反數，求a的值.

錯解設方程的兩個實根是x1和x2，由題意有x1=-x2，即x1+x2=0.

那么由二次方程根與系數的關系知

可化為(a-5)(a+2)=0,解得a=5或者a=-2.

剖析注意到方程的兩個實根互為相反數的前提條件是方程有實根，所以不能忽略了判別式的檢驗作用.

實際上，當a=5時，Δ=0-4×2×10=-80<0，方程無實根， 不合題意；

所以本題正確答案是a=-2.

三、忽視了方程根的符號

錯解由根與系數的關系知αβ=1，故α與β同號.那么

因此本題正確答案應是-2.

四、忽視了根的范圍

例4 若方程4x2-2(m+1)x+m=0的兩個實根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值，求m的值.

錯解設方程的兩實根分別為sinA,sinB,則有sinB=cosA.

將前式平方，注意到sin2A+cos2A=1，再將后式代入，可得

剖析以上解法雖然解后十分注意檢驗了Δ>0，但還是忽視了銳角正弦值的取值范圍的限制條件：0