試論函數單調性在高中數學中的學習及應用

王世龍

(安徽省廣德中學 242200)

函數單調性描述的是函數定義域與值域間的增減關系，如在給定定義域內自變量逐漸增大，函數值也隨之增大，則函數為單調遞增，反之為單調遞減.函數單調性可解決很多函數問題，應用廣泛，因此，高中數學教學中應做好函數單調性教學，不斷提高學生的學習質量與效率，使學生能夠靈活應用，解決各類函數問題.

一、函數單調性的學習

函數單調性不難理解，結合函數圖象可知，如在定義域內非常數的連續函數沒有極值點，即可稱為函數是單調的，是單調遞增還是遞減，需要學生結合所學作進一步判斷.函數學習中掌握單調性判斷方法是學習的重點，具體應注重落實以下內容：

1.腳踏實地，深入理解定義

高中數學教材中給出函數單調性的定義，表述較為簡單.學習中既要準確記憶，又要深入理解.尤其應注意：單調性是函數的局部性質，因此，描述函數單調性時應注意指明區間；x1，x2的取值應是任意的；判斷函數單調性時除對函數值作差比較大小外，還可進行延伸，采用列表法、放縮法、作商法等.

2.注重反思，做好經驗總結

除使用性質外，還可根據經驗判斷函數的單調性.眾所周知，高中階段學習很多函數，如二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等.在進行這些函數學習時，應牢記函數圖象，并做好單調性總結.例如f(x)為二次函數，x=x1為其圖象對稱軸，如圖象開口向上，在(-∞,x1)上單調遞減，在(x1,+∞)上單調遞增.如開口向下，單調性與開口向上時相反.另外，如為復合函數時，只有內外函數單調性相同時，其才為單調遞增函數，反之為單調遞減函數，可簡記為“同增異減”.

3.掌握公式，謹慎進行判斷

判斷函數單調性還可采用導數法.由于求導是判斷函數單調性的基礎，因此，學習中應掌握教材中給出的函數求導公式，尤其在記憶復合函數求導公式時，應將符號記憶清楚.另外，求導后找到導函數為零的點x1，如在給定區間上導函數f′(x)>0，表示函數單調遞增；如為f′(x)<0，表示函數單調遞減.

二、函數單調性的應用

函數單調性判斷方法容易掌握，但函數問題復雜多變，要想靈活應用到解題中并非易事.因此，教學中應結合具體方法創設相關問題情境，與學生一起分析、解答，加深學生印象的同時，深化學生理解.

1.用于求解參數范圍

求解參數范圍的方法較多，包括分離參數、數形結合、函數單調性等方法.其中函數單調性方法應用廣泛，教學中應注重優選經典例題，提高學生運用函數單調性求解參數范圍的意識，掌握相關的應用技巧.

題目中給出的函數較為特殊，無法采用分離變量法求解，因此，需要借助函數單調性，找到關于a的不等式關系進行解答.

∴滿足題意的a的取值范圍為(-∞，2].

2.用于解答不等式

解答有關抽象函數不等式試題時，需根據函數單調性，將函數轉化為定義域之間的不等關系進行求解，因此，教學中應注重講解相關例題，使學生感受整個解題過程，掌握這一重要的不等式求解方法.

例2已知y=f(x)為定義在R上的函數，且f(0)≠0.當x>0時，f(x)>1，且對任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)·f(b)，解不等式f(x)·f(2x-x2)>1.

解答該題目時需充分利用給出的已知條件進行轉化.而后求出函數值為1的自變量.最后利用函數的單調性求解.

∵對任意的a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)·f(b),

令a=b=0，則f(0)=f(0)·f(0).

又∵f(0)≠0，則f(0)=1.

設x10，

∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).

∵x2-x1>0，∴f(x2-x1)>1，

又∵f(x1)>0，∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1),

∴f(x2)>f(x1)，即在R上f(x)單調遞增.

由f(x)·f(2x-x2)>1，可得f(3x-x2)>f(0)，

即，3x-x2>0，解得0

3.用于比較值的大小

比較函數值大小是高中數學的常見題型，難度或難或易.但多數題型需要應用函數單調性進行分析，因此，教學中可創設相關問題情境，鼓勵學生積極思考，加深對單調性的理解，正確用于解答比較函數值大小試題.

例3已知函數f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1)、f(4)、f(5)的大小關系為：____.

認真觀察可知函數f(x)的圖象為開口向上的拋物線，要想比較f(1)、f(4)、f(5)的大小關系，需要找到其對稱軸.利用函數單調性以及自變量和對稱軸之間的距離進行判斷.

∵對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，則函數f(x)圖象的對稱軸為x=2.

當x>2時，函數f(x)單調遞增，

∴f(5)>f(4)

因為x=1和x=4與對稱軸間的距離分別為1，2，

∴f(4)>f(1).

綜上可知：f(1)

4.用于分析函數極值

高中數學中分析函數極值常使用導數知識，通過判斷函數的單調性求得.為使學生深入理解單調性和函數極值之間的關系，做到靈活應用，仍需通過例題加以呈現，使學生認識到函數單調性在分析函數極值中的重要作用.

例4已知Sn=2n-1+k為等比數列{an}的前n項和，求函數f(x)=x3-kx2-2x+1的極大值.

函數f(x)中帶有參數k，因此，應利用給出的等比數列知識求出k值.而后運用導數通過探討其單調性求得極值.

∵Sn=2n-1+k，則Sn-1=2n-2+k(n≥2)，兩式相減得到an=2n-2(n≥2).

∵a1=S1=1+k，a2=22-2=1,a3=23-2=2,

單調性是函數的重要性質，重要性不言而喻.為使學生牢固掌握這一重要知識點，在解題中靈活應用.一方面，立足整個高中階段，匯總判斷函數單調性的方法，并為學生深入講解，掌握不同方法的精髓以及注意事項.另一方面，做好數學題型分析，通過講解例題，為學生做好函數單調性應用示范，鼓勵學生積極思考，加深印象的同時，掌握應用技巧.