隱函數邏輯方程

吳金鵬

(山東省聊城大學材料科學與工程學院 252000)

一、隱函數邏輯關系

1.隱函數邏輯關系-與

由⑤式可以看出，要使方程等式成立，當且僅當，f1(x，y，z)=0且f2(x，y，z)=0，即⑤式的取值必須同時滿足f1(x，y，z)=0以及f2(x，y，z)=0.因此，⑤式的隱函數圖象表示為①，②在坐標系中相交的部分.綜上所述，方程⑤為隱函數邏輯關系-與.

例1推導三維空間中直線的隱函數方程.

③+④得F(x，y，z)=|A1x+B1y+C1z+D1|+|A2x+B2y+C2z+D2|=0.該方程為所需推導的三維空間中直線的隱函數方程.

當多個隱函數圖象重疊時，所得圖象的方程為組成該方程的隱函數的公共部分.

2.隱函數邏輯關系-或

以三元隱函數方程為例，f1(x，y，z)=0①或f2(x，y，z)=0②，若①，②為某一隱函數方程的解，則原方程為f(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)=0，方程的兩解的圖象在空間中互不干涉.在同一個坐標系中，兩個隱函數按照自己原來的圖象，依次在坐標系中.例如一個圓可以分解為兩個半圓.因此，隱函數相乘為隱函數圖象在空間中的疊加，所得的一個隱函數的取范圍等于組成它的隱函數取值范圍的和.于是f1(x，y，z)=0，f2(x，y，z)=0，f3(x，y，z)=0,…,fn(x，y，z)=0在坐標系中的疊加方程為F(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)·f3(x，y，z)·…·fn(x，y，z)=0③,③式為三元隱函數邏輯關系-或.

二、隱函數邏輯方程的梯度計算

1.隱函數邏輯方程-與的梯度計算

對于F(x，y，z)=|f1(x，y，z)|+|f2(x，y，z)|=0，由于所求得的幾何圖形的方程為三維空間的直線方程，因此其法向量有無數多個.此時，我們只能通過向量積運算出直線的特征向量，進而求得以該向量為法向量的平面的梯度.▽F(x，y，z)=▽f1(x，y，z)×▽f2(x，y，z).

2.隱函數邏輯方程-或的梯度計算

對于f(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)=0，可參考乘積的導數計算，于是有▽f(x，y，z)=f1(x，y，z)·▽f2(x，y，z)+f2(x，y，z)·▽f1(x，y，z)=0.

三、非等式之間的邏輯關系

非等式之間也存在兩種邏輯關系，如x>5和x>4，它們在空間中的圖象也具有邏輯關系.若x>5和x>4之間的邏輯關系為與時，空間中的圖象表現為x>4；當x>5和x>4之間的邏輯關系為或時，空間中的圖象表現為x>5.但非等式之間的邏輯關系或，與不能通過隱函數邏輯方程直接表示，因此將非等式化為等式是實現方程邏輯運算的一種選擇.

1.非等式的隱函數表示

2.推導隱函數邏輯非，異或

設空間中的三元隱函數分別為，f1(x，y，z)=0，f2(x，y，z)=0.由隱函數邏輯關系-與可得F(x，y，z)=|f1(x，y，z)|+|f2(x，y，z)|=0為兩隱函數的重疊部分，F(x，y，z)≠0為F(x，y，z)=0在空間R3的對立.