線性代數在經濟領域的應用初步探討

黃靜靜 劉文琰

摘要：數學是研究數量與空間形式的科學，古典數學分為代數、幾何和分析三大領域。其中線性代數這一代數學分支既包含代數學的內容，又和幾何學密切相關，在理工農醫經濟等領域都有重要的應用。文章結合應用實例，著重探討了線性代數在經濟領域的應用。

關鍵詞：線性代數;經濟領域;應用

中圖分類號：G642.0 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2020）11-0268-04

一、研究目的與意義

線性代數，英文名為Linear Algebra，是數學中的一個重要分支。代數的英文名Algebra，源自阿拉伯語，它的本意為“reunion of broken parts”，即“把打破的重聚”。因此，把許多看似不相關的事物聯系到一起并對其進行高度抽象，這是代數的特點與用途。抽象的目的是通過代數把某些錯綜復雜的問題轉化為人們熟知的數學模型，從而能夠更加快速簡便地解決問題。線性代數的研究內容包括矩陣、行列式、線性方程組、向量、線性空間和線性變換等。近年來，隨著科學技術尤其是計算機技術的迅猛發展，線性代數的應用領域得到了極大的拓展。以前只是在傳統的物理領域中應用，后來隨著時代的發展，迅速拓展到非物理領域（生物、經濟、醫學、社會學等領域）。許多經濟學家嘗試將數學和經濟學緊密地聯系在一起，并通過對大量數學工具的運用，使得經濟學領域的理論研究工作取得了重大的進展。在上述數學工具中，線性代數出現的頻率很高。本文致力于尋找線性代數與經濟問題之間的密切關系，著重探討線性代數在經濟領域中的重要應用。

為了使讀者更加深入地了解線性代數應用領域的廣泛性以及線性代數對經濟領域相關研究的重要推動作用，本文除了總結陳述前人的研究外，還列舉并分析了幾個實踐中的案例，以期能夠通過本文的研究促進線性代數理論在經濟領域的應用，促進社會經濟與科技全面發展。

二、前人的研究綜述

王珍萍（2017）曾簡要闡述線性代數理論的重要性，并且說明了在其他的科學領域中線性方程組解法有十分重要的應用。在當前社會主義市場經濟的環境下，經濟實務體系中的重要組成部分是對經濟領域的投入產出問題進行分析。這種類型的經濟問題的解決要歸功于線性代數的應用，它的優勢是其他方法所沒有的。

張瑩華（2011）曾經提出，線性代數就是對向量、線性方程組、矩陣和線性變換等概念的研究。線性代數的相關概念和思想方法能用幾何具體地表示出來，并且在抽象代數和泛函分析中有著廣泛的應用。通過借助于線性代數等多種數學理論和方法，經濟理論的研究工作取得了很大的進展，顯著加深了人們對于經濟規律的理解與把握。

桑卓（2006）曾提出，數學是一切科學的基礎。發展經濟需要研究經濟理論，掌握經濟規律，而在研究這些的過程中大多數都需要應用數學。自從1969年設立諾貝爾經濟學獎以來，諾貝爾經濟學獎得主的成果大多數都是應用數學的理論、思想和方法來研究經濟問題所得的結晶。這些年來，人們已經通過應用數學理論方法使經濟領域中的很多重要問題得到了良好的解決。

鄭燁（2009）提出了線性代數中每一個理論在各個領域中的不同運用，如矩陣、線性變換、二次型正定判定等在不同領域的運用。

三、實例分析

（一）矩陣運算的應用案例

矩陣的運算中，人們比較容易接受和掌握矩陣的加法、減法以及數乘運算等運算方法。而矩陣的乘法的算法相對來說非常特別，不易理解，但大量的矩陣理論及其應用都是建立在矩陣的乘法之上的。矩陣的乘法廣泛應用于各個方面，矩陣的乘法中不僅只有兩個矩陣相乘，還有多個矩陣相乘的情況，這里就多矩陣相乘在經濟中的應用舉例。

案例一 支付資金流動問題

為了保證金融機構的現金能夠足額支付，金融機構在A市和B市的公司分別設立了基金，平時可以使用這筆基金，但是每個周末清算時必須保持總金額不變。經過了長時間的現金流動，發現每周公司的大部分支付基金在流通過程中仍然留在本公司，然而每周A市公司有大約12%的支付資金最終流向B市公司，B市公司則有大約15%的支付資金最終流向A市公司。最初，A市公司的基金為106萬元，B市公司的基金有212萬元。按照這種規律持續下去，兩家公司的支付基金數額變化趨勢是怎樣的？若要求每個公司的支付基金高于130萬，則需不需要在必要時調動資金？

案例二 模糊評價矩陣在分析經濟影響權重中的應用

評價方案或者成果時，其中需要考慮的因素非常多，并且某些描述難以明確地表達出來。在這個時候，就可以采用模糊評價方法來對事物從定性化的評價轉為全面且定量化的評價。因為模糊綜合評價可以有效地解決許多難以量化的問題，所以它非常適合解決各種不確定性問題。模糊矩陣在模糊綜合評價中用于表達各因素的不同的隸屬度，最終利用該矩陣進行運算得出各因素的重要程度排序。

假設某家銀行為了計劃下一個年度的貸款投資重點，對甲、乙、丙、丁這四家企業的財務信用進行了貸款風險的投資評估。評判企業財務信用的重要目標因素為企業的人才儲備、經營能力、盈利能力和償債能力，對應的數值如表所示。通過模糊綜合評價決策出重點投資的四家企業排名。

（二）行列式在經濟領域的應用

行列式是指由一些數值排列形成的方陣經過計算得出的一個數。

線性方程組可用于許多真實的案例中，例如互付工資問題。工資的相互支付問題是指在提供勞動力的過程中因為多方合作所產生的問題。例如，在農忙時，各家各戶的農民組成了一個合作小組，大家一起完成每戶的耕作、種田和收割等工作。又比如，木工、電工、油漆工等組成了一個工作小組，共同完成各個家庭的裝修工作。因為不同的工種所付出的體力勞動和腦力勞動是各不相同的，所以，我們有必要計算互付工資的標準去平衡各方的所得利益。

案例四 互付工資問題

一個互助組由A，B，C三個農民組成，每個人一共在小組成員家中工作6天（在自己家干活的天數也包含其中），使得他們三個人家里的所有農活恰好完成，其中A在A，B，C三人家中工作的天數依次為：2，2.5，1.5;B在A，B，C三人家中都干2天活，C在A，B，C三人家中工作的天數依次為：1.5，2，2.5。根據三個人的工作類型、速度與時間，他們認為他們三個人兩兩的支出與收入平衡，所以他們之間不用相互支付工資。然后，三個人在隔壁村莊分工合作干了2天活，而且每個人的工作類型和強度都不變，三人一共得到了500元工資。他們如何合理地分配這500元工資？

四、結論與討論

（一）本文的主要結論

近年來，隨著科學技術的發展，線性代數的應用領域擴展越來越迅速，經濟活動的實踐離不開數學，線性代數在經濟生活中發揮著至關重要的作用。

經濟學中應用線性代數主要是運用其概念、性質和思想等。文中的案例分為兩種，一種是直接應用線性代數，另外一種是間接應用線性代數。

1.經濟學中直接應用線性代數。直接運用線性代數來計算經濟問題并可直接得出結果的，如用矩陣的加法、減法、數乘、乘法和矩陣的逆，行列式，線性方程組等概念或性質直接用于經濟問題中的數據，從而計算得到結果。這種應用較為普遍，企業直接運用線性代數，能夠找到決策的理論依據，不會盲目投入與生產，造成企業的經濟損失。

2.經濟學中間接應用線性代數。經濟學中間接運用線性代數不是直接套用線性代數的公式，而是在經濟學中解決問題時自然而然滲透著線性代數的思想，例如用模糊綜合評價、層次分析法分析經濟問題以及線性規劃等。間接運用通常是在經濟學中把較難的問題利用線性代數的思想巧妙地解決，使復雜的問題簡單化。因為大多數的經濟問題都不可能只用線性代數的問題解決，通常還需要經濟學的理論知識和社會經驗等，不能夠直接運用線性代數，所以間接運用線性代數才是經濟領域中應用線性代數的主流。間接運用線性代數來描述較為復雜的經濟現象，例如國民收入、消費、經濟活動等，有利于人們正確把握社會經濟活動的規律。

綜上，線性代數增強了經濟學的可靠性、科學性、客觀性，使之得出的決策更加令人信服，為經濟學家們更好地解釋和預測經濟行為提供了一種更有利的手段，為人們的經濟生活提供了正確的指導。

（二）本文優點與不足之處

對于線性代數在經濟領域中的應用，本文歸納出了矩陣、行列式、線性方程組等知識的應用，并進行了一定的分析研究，加深了人們對線性代數在經濟領域應用情況的了解。但是本文也存在著許多不足之處。最大的不足是缺乏大量的真實數據作為本文案例的支撐。由于企業對于數據的保密，無法從各種渠道得到適合且匹配的數據進行模型的搭建，就只運用了理論知識就某些簡化的經濟系統進行舉例，具有一定的主觀性，有待創造條件深入研究，做進一步的完善。

參考文獻：

[1]王珍萍.線性代數及其在經濟領域中的應用與作用[J].數學學習與研究，2017，（05）：18-19.

[2]張瑩華.線性代數及其在經濟領域中的應用與作用[J].黑龍江科技信息，2011，（30）：221.

[3]桑卓.數學在經濟理論研究中的意義和作用[J].數學之美，2006，（01）.

[4]鄭燁.淺談線性代數的實用性[J].才智，2009，（22）：124.

[5]黃玉梅，彭濤.線性代數在中矩陣的應用典型案例[J].蘭州大學學報：自然科學版，2009，（45）：123-125.

[6]郝玉芹.經濟數學在決策理論中的應用[J].經濟師，2001，（04）：59-60.