MATLAB在數(shù)字信號處理理論教學(xué)中的應(yīng)用

方焯　陳西曲　劉衛(wèi)華　陳良艷

基金項(xiàng)目：

湖北省高等學(xué)校省級教學(xué)研究項(xiàng)目：以能力提升為核心的電子信息科學(xué)與技術(shù)專業(yè)戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)人才培養(yǎng)模式的探索與實(shí)踐（2014322）;電子信息科學(xué)與技術(shù)戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)專業(yè)人才培養(yǎng)方案與教學(xué)方法改革的研究（2013317）。

摘 要

本文將 MATLAB 軟件引入到數(shù)字信號處理的理論教學(xué)中，介紹了離散時(shí)間信號的顯示與運(yùn)算和離散系統(tǒng)的分析。通過運(yùn)用 MATLAB 軟件自帶的函數(shù)可以很方便地畫出離散時(shí)間信號的圖形、離散信號的頻譜以及離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線。

關(guān)鍵詞

數(shù)字信號處理;MATLAB;零極點(diǎn)

中圖分類號： TN911.72-4;G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.03.011

自從20世紀(jì)70年代采用第一塊數(shù)字信號處理芯片以來，數(shù)字信號處理技術(shù)不斷地發(fā)展。隨著DSP（數(shù)字信號處理）處理器速度和精密性的飛速發(fā)展以及計(jì)算能力相應(yīng)的增強(qiáng)，數(shù)字信號處理越來越多地進(jìn)入人們生活的各個(gè)領(lǐng)域。掌握數(shù)字信號處理的基本概念和方法，是電子信息、電信科學(xué)等專業(yè)所必備的。通過數(shù)字信號處理課程的學(xué)習(xí)，可以深入理解離散時(shí)間信號及其處理，并且為DSP技術(shù)、通信理論與技術(shù)、無線電技術(shù)、微機(jī)應(yīng)用、電路系統(tǒng)等專業(yè)課打下良好的基礎(chǔ)。為了更好地掌握數(shù)字信號處理的經(jīng)典理論及其應(yīng)用，以及數(shù)字信號處理基于計(jì)算機(jī)的方法，我們在教學(xué)方法上，將課堂教學(xué)、上機(jī)實(shí)驗(yàn)與MATLAB有機(jī)地結(jié)合起來，使學(xué)生能夠充分掌握數(shù)字信號處理的基本技術(shù)，為進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)[1]。

1 離散信號的顯示與運(yùn)算

數(shù)字信號處理研究的對象是離散時(shí)間信號，而離散時(shí)間信號可以通過MATLAB工具中函數(shù)進(jìn)行計(jì)算以及畫圖功能顯示[2]。如計(jì)算一個(gè)一階全通系統(tǒng)的單位采樣序列和矩形序列的響應(yīng)。其原理是線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)用filter函數(shù)或conv函數(shù)計(jì)算。其MATLAB程序流程如下：

H（z）=（1）

（1）生成單位采樣序列x1和長度為7的矩形序列x2。

（2）根據(jù)全通系統(tǒng)的函數(shù)表達(dá)式可以得出b=[-0.5 1]和a=[1 -0.5]。

（3）用filter函數(shù)得到單位采樣響應(yīng)h=filter（b，a，x1）和矩形響應(yīng)y2=filter（b，a，x2）。b和a分別為系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)。

（4）也可以用conv函數(shù)計(jì)算x2與h的卷積y=conv（x2， h）。

（5）用stem函數(shù)畫出x1，x2，h，y2，y。

由圖1可以看出，單位采樣響應(yīng)和矩形序列的卷積與矩形響應(yīng)是相等的。同時(shí)也說明了我們既可以用filter函數(shù)又可以使用conv函數(shù)計(jì)算線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出。

圖1 輸入序列、相應(yīng)的響應(yīng)及矩形序列與單位采樣響應(yīng)的卷積

2 畫零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線

運(yùn)用MATLAB工具能夠很方便的畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線。例如一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)H（z）有一個(gè)零點(diǎn)z=2，兩個(gè)極點(diǎn)z=0.5exp（±j4π/3）。若該系統(tǒng)的直流增益為1，我們可以確定該系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖和頻率響應(yīng)曲線。其原理是已知系統(tǒng)的零、極點(diǎn)可以用poly函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系統(tǒng)，常系數(shù)可以由直流增益得到。依題意，直流增益為1，我們可以得到系統(tǒng)零極點(diǎn)的圖用zplane函數(shù)得到，數(shù)字系統(tǒng)的頻率響應(yīng)用freqz得到。其MATLAB程序流程如下：

H（ejw）|w=0=1（2）

（1）根據(jù)系統(tǒng)零點(diǎn)和極點(diǎn)可以確定系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)。

（3）

常系數(shù)通過直流增益來計(jì)算，常系數(shù)為sum（a）/sum（b）;

（2）用zplane（b，a）畫出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)圖;|

（3）用[H，w]=freqz（b，a，N）計(jì)算頻率響應(yīng)，N為頻率的采樣點(diǎn)數(shù)。

圖2 非最小相位系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，單位采樣響應(yīng)，幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)

圖3 最小相位系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，單位采樣響應(yīng)，幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)

我們得到非最小相位系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，單位采樣響應(yīng)，幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)，如圖2所示。進(jìn)一步將零點(diǎn)移至以單位圓為對稱軸的鏡像位置得到一個(gè)最小相位系統(tǒng)，重復(fù)前面的步驟得到圖3。圖2和圖3分別為零點(diǎn)在z=2和鏡像位置z=0.5，兩個(gè)極點(diǎn)都在z=0.5exp（±j4π/3）的系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，單位采樣響應(yīng)，幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。比較可見，將零點(diǎn)由單位圓外移到單位圓內(nèi)的鏡像位置，由非最小相位系統(tǒng)變成了最小相位系統(tǒng)，并沒有改變系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，而單位采樣響應(yīng)和相頻響應(yīng)都有變化。圖2和圖3的h（0）都等于0，圖2的h（1）=-1.75，圖3的h（1）=3.5，可見最小相位系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)序列的能量集中在n=0附近，從相頻響應(yīng)曲線可以看出，最小相位系統(tǒng)的相頻響應(yīng)曲線的斜率較小，因此運(yùn)用MATLAB可以很直觀的驗(yàn)證最小相位系統(tǒng)具有較小的群延遲。

3 頻譜分析

圖4 三種抽樣方法得到的信號頻譜，（1）fs=3000Hz，N=60;（2）fs=1000Hz，N=60;（3）fs=3000Hz，N=20

運(yùn)用MATLAB工具可以對離散時(shí)間信號做DFT頻譜分析，例如一個(gè)模擬信號用可以借助MATLAB軟件做頻譜分析。對模擬信號的表達(dá)式化簡得到公式（5），利用函數(shù)fft可以直接返回離散時(shí)間信號的頻域值。先由模擬信號采樣得到不同采樣頻率下的離散信號x，再用X=fft（x）函數(shù)可以直接得出信號的頻域值。我們得到圖4，可以看出模擬信號的頻譜在頻率為500Hz，600Hz，700Hz有峰值，其他頻率信號的幅度為零。頻譜分析如圖4所示，采樣頻率fs和采樣點(diǎn)數(shù)N分別為（1）fs=3000Hz，N=60;（2）fs=1000Hz，N=60;（3）fs=3000Hz，N=20。可以看出圖4。（1）能清晰地分辨出這三個(gè)峰值，而圖4。（2）的頻譜在k=30出現(xiàn)了混跌現(xiàn)象，圖4。（3）的抽樣點(diǎn)數(shù)太少了，峰值很模糊。根據(jù)奶奎斯特抽樣定理，抽樣頻率應(yīng)大于信號最高頻率的兩倍，因此抽樣頻率必須大于1400Hz，抽樣點(diǎn)數(shù)N≥fs/F0，F(xiàn)0為頻率分辨率，（3）的抽樣頻率為3k Hz，F(xiàn)0=100Hz，因此抽樣點(diǎn)數(shù)至少為30點(diǎn)，因此只有（1）的抽樣條件能使抽樣信號能分辨所有的頻率分量。

xa（t）=[1+cos（2π×100t）]cos（2π×600t）（4）

xa（t）=cos（2π×600t）+cos（2π×500t）+cos（2π×700t）（5）

4 結(jié)論

本文介紹了MATLAB在數(shù)字信號處理理論教學(xué)中的應(yīng)用。可以看出MATLAB的引入為數(shù)字信號的處理提供了便捷的數(shù)值計(jì)算方法，讓數(shù)值信號處理的理論教學(xué)從大量的數(shù)據(jù)推導(dǎo)和計(jì)算中解放出來，使得數(shù)字信號處理簡單化、實(shí)用化，充分體現(xiàn)了MATLAB軟件在數(shù)字信號處理的理論教學(xué)中的優(yōu)越性。

參考文獻(xiàn)

[1]程佩青.數(shù)字信號處理教程[M].北京：清華大學(xué)出版社（第四版），2015.

[2]王永玉，孫衢.數(shù)字信號處理與應(yīng)用[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2009.