關于二次曲線一般理論教學的思考

(嶺南師范學院數學與統計學院，廣東 湛江524048)

0 前言

當前，很多地方師范院校正在向應用型高校轉型，在轉型的過程中，涉及多方面的改革，課程改革則是其中重要的環節。解析幾何是高師數學專業的重要基礎課，隨著教學改革的深入，解析幾何課程也面臨著一些問題，其中最為突出的問題是課時量少，教學任務繁重。以筆者所在學校為例，目前解析幾何課程的課時量縮減為48課時，要用48課時完成解析幾何的教學任務，教學工作是比較繁重的。因此，在解析幾何的教學中，如何合理處理教材，精簡教學內容變得非常重要。

呂林根、許子道主編的《解析幾何》(第四版)[1]是師范院校數學專業普遍采用的教材, 按教學計劃，教師一般會講授一至五章內容，其中第五章主要研究二次曲線的一般理論，這部分內容在解析幾何課程中占有很重要的地位，但是由于課時的關系，每次講到這里的時候，所剩的課時不多，因此如何用比較少的課時把這一部分內容講清楚，是對教師的一個考驗。文章主要以呂林根、許子道主編的《解析幾何》(第四版)[1]為例，結合本人在教學過程中的一點經驗，談談如何合理地處理該教材中的第五章內容，也即是二次曲線的一般理論。

1 刪除二次曲線切線及主直徑內容

解析幾何二次曲線一般理論的主要內容為二次曲線的化簡與分類。在化簡二次曲線方程時，教材共介紹了三種方法，分別為：1.利用移軸和轉軸化簡二次曲線方法；2.利用主直徑化簡二次曲線方法；3.利用不變量化簡二次曲線方法。由于課時的關系，在教學過程中，這三種方法不可能全部介紹，需根據實際情況進行選講。對于方法1，由于該方法是化簡二次曲線的基本方法，并且，該方法思想簡單，學生容易接受，因此，方法1在教學過程中必須介紹。對于方法3，在已經清楚二次曲線的分類之后，學生學習這一部分內容也相對容易，教師組織教學也不會太難，花費教學時間也不會太多，因此方法3也可以介紹。至于方法2，由于該方法的預備知識為直徑和主直徑，為了介紹該方法，還得花大量的時間去介紹直徑和主直徑的相關理論，因此，出于課時的考慮，可以不介紹方法2。在不介紹方法2的情況下，教材中介紹直徑和主直徑相關理論的第五章4、5節也就可以省略掉。至于二次曲線的切線，即本章的2節內容，由于知識相對獨立，去掉這部分內容，不會影響本章的完整性。因此，在課時緊張的情況下，可以把第五章的2、4、5節的內容省略掉，既不影響內容的完整性，也不影響核心內容的教學，還可以大大節省教學時間，真正達到精講的效果。

2 重新證明簡化公式

關于二次曲線的分類，其理論依據主要是教材[1]中的定理5.6.1,也即以下的定理3.1教材中的不變量方法，也是基于該定理進行化簡與分類。但是在教材[1]中，該定理的證明要利用到主直徑的相關理論，而上文已經提到，如果課時緊張，可把直徑和主直徑相關理論砍掉，為了保證知識的連貫性，這樣就要求對教材[1]中的定理5.6.1給出一個不需主直徑相關理論的證明方法。本節主要介紹如何利用移軸、轉軸和配方的方法證明以下定理3.1。

定理3.1[1]適當選取坐標系，二次曲線的方程總可以化成下列三個簡化方程中的一個：

(1)ɑ11x2+ɑ22y2+ɑ33=0，ɑ11ɑ22≠0；

(2)ɑ22y2+2ɑ13x=0，ɑ22ɑ13≠0；

(3)ɑ22y2+ɑ33=0，ɑ22≠0．

證明：設二次曲線方程C為

ɑ11x2+2ɑ12xy+ɑ22y2+2ɑ13x+2ɑ23y+ɑ33=0

則在轉軸公式

(3.1)

下，二次曲線C的新方程為

其中，

(3.2)

因為余切值可以取到任意實數，所以總有滿足上面的條件, 也就是說，總可以通過適當轉軸消去方程中的交叉項xy，即二次曲線方程C總可以通過轉軸化為以下方程

(3.3)

對于方程 (3.3)，通過移軸，可以對其進一步化簡．如果C為中心二次曲線，設 (x0,y0)為二次曲線的中心，作移軸變換

(3.4)

則在新坐標系下，原方程可化為以下的簡化形式

(3.5)

上式左端關于y′配方可得

(3.6)

則(3.6)可進一步化簡得到

(3.7)

(3.8)

去掉(3.5)，(3.7)，(3.8)的撇號，可得到定理3.1的結論。

從以上的證明可以看出，不借助主直徑相關理論方法，也是可以得到二次曲線方程的分類定理。從這角度來看，在教學中去掉直徑和主直徑的教學內容，是不會影響到本章系統的完整性的。因此本文所介紹的教材處理方法是可行的。

定理3.1的證明過程也即是利用移軸和轉軸化簡二次曲線的過程，該過程的要點為： 1) 首先利用轉軸消去交叉項xy；2)然后通過配方得到移軸公式，從而化方程為最簡。利用以上化簡過程，任何的二次曲線方程都可以化為最簡。下面通過例子介紹該過程。

例3.1：化簡二次曲線方程

x2+2xy+y2+2x+y=0

解：此方程含有交叉項，按照定理3。1證明的方法，可以先轉軸消去交叉項xy。為此，可設旋轉角為ɑ，由(3.2)，可得

cot2ɑ=0 ，

把上式代入原方程化簡整理得轉軸后的新方程為

對上式配方整理得

(3.9)

根據(3.4)，可得移軸公式

事實上，如果二次曲線是中心二次曲線，借助二次曲線的中心，也可以先移軸，再轉軸。

例子3.2 化簡二次曲線方程

x2-xy+y2+2x-4y=0

x′2-x′y′+y′2-4=0

(3.10)

為了消去(3.10)的交叉項，根據(3.2)，我可得

cot2 ɑ=0 ，

代入(3.10)，可得簡化公式為

x′′2+3y′′2-8=0

注： 例子3.2的解法是先移軸，再轉軸，其基本思想是：首先平移坐標系使得坐標原點與二次曲線的中心重合，從而消去一次項及，然后，再通過轉軸，消去交叉項，從而化二次曲線為最簡。但該方法有局限性，如果二次曲線為非中心二次曲線，若先移軸，就比較困難建立移軸公式，此種情況就得先轉軸，再移軸。

3 小結

二次曲線的一般理論是解析幾何課程中的一個重要的內容，但是由于課時的關系，教師在講授本部分內容時不可能面面俱到，因此在不改變內容完整性的基礎上對本部分內容進行重新調整很有必要。對于教材[1]第五章(二次曲線的一般理論)的教學，如果不介紹利用主直徑方法化簡二次曲線，同時對教材定理5.6.1的證明作適當的處理，則去掉5.2節(二次曲線的切線)、5.4節(二次曲線的直徑)和5.5節(二次曲線的主直徑與主方向)的內容是完全可以的，這樣的處理也不會影響知識的完整性。事實上，通過對教材[1]作這樣的處理后，學生對這章的學習變得輕松，教師的教學也變得從容，從而克服課時減少帶來的種種弊端。