關鍵能力高立意，通性通法硬道理*
——學習進階視域下2019年江蘇高考數學卷評析

江蘇省陶都中等專業學校(丁蜀校區) (214221) 潘 靜

2019年江蘇高考在社會各界的眾說紛紜中落下帷幕，就難易而言，見仁見智.綜觀高考試題，筆者的總體感受為：試題親和顯平穩，適度創新助區分，多元表征引思辨，思維拔節自然成.顯然，整卷有效落實了立德樹人，課程育人的宏觀目標，也為高校選拔人才提供了實證性依據，命題設計遵循《普通高中數學課程標準》,依據《江蘇省2019高考考試說明》(以下簡稱《考試說明》)，全方位、多角度地考查了高中數學的主干知識和基本思想方法，突出了創新能力和應用意識的要求，加強對不同層次學生的數學關鍵能力有效檢測和診斷，進而為后續的高中數學教學提供精準導向.下面筆者從通性通法的視角解讀2019年江蘇高考數學試題，借以闡明優效復習的策略和數學關鍵能力進階培養的途徑.

一、何謂“通性通法”

所謂“通性通法”，是指具有規律性和普適性的常規解題模式以及常用的數學思想方法.由于“通性通法”是學生思維素養的根基，也是后續可持續發展原動力，因此，新課標提出：“注重通性通法，淡化特殊技巧”，《考試說明》也明確要求：“突出數學基本知識、基本技能、基本思想方法的考查”，這也充分體現高考對通性通法考查的重視.

二、通性通法的考情分析

1.基本知識的考查

2019年江蘇高考數學試題考查的知識點分布如下：

表1 填空題

表2 解答題

表1呈現高中階段基礎知識的全覆蓋，分層次考查學生的邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力和創新能力.試題以知識為載體，堅持能力立意，素養導向.從學習進階理論的視角分析，數學關鍵能力可分為三個層級：層級一，初步形成；層級二，經驗積累；層級三，系統整合.通常情況下，1-10題考查學生能在具體、單一的知識單元中理解陳述性知識(如數學概念、數學原理等)，對于程序性知識(如數學技能等)能模仿操作，能使用本單元的知識、規則和方法解決簡單的數學問題并進行簡單的數學符號化表達，屬于能力層級一；11,12題考查學生能在具體、多個知識單元中，體會不同單元內容之間的內在聯系，體會程序性知識之間的共性，體會數學思想方法的價值和意義，能用已掌握的知識、規則和方法解決比較復雜的數學問題并能進行規范的數學符號化表達，屬于能力層級二；13,14題考查學生能在抽象、復雜的新情境中，綜合運用已有的知識，有意識地、主動地、靈活選擇和熟練運用數學思想方法進行探究，并能用數學符號語言清晰、準確地表達，屬于能力層級三.今年的試題13,14一改“面目猙獰”的舊貌，取而代之的是“春風拂面，親切溫和”的三角函數和分段函數題，而試題12卻“異軍突起”，能力要求充分彰顯綜合性和靈活性，沒有深厚的運算功底和靈活的轉化意識是很難得到正確的結果的.

表2呈現江蘇高考的六大經典題型，凸顯了高中知識體系中最核心的六個板塊.其中三角函數、立體幾何的難度與往年持平，圓錐曲線一直讓學生“望而生畏”，復雜的運算量成為學生“過不去的坎”，而今年的圓錐曲線依然前置于應用題，與2018年高考解析幾何題類似，直線、圓、橢圓齊聚一堂，上演了“桃園三結義”的戲碼，演繹“思維故事”，其問題(1)涉及橢圓的定義、焦點、兩點間的距離、橢圓方程等重點知識，在靜態的條件下求橢圓的標準方程；問題(2)涉及垂直、共線、共點、對稱等重點知識，側重考查學生對知識的綜合運用能力.基于SOLO分類理論對試題的能力層級進行評價：問題(1)處于單點結構和多點結構，要求學生能聯系單一事件，鎖定一個線索直奔結論，或者能聯結多個孤立事件，但尚未構成問題的知識網絡；問題(2)處于關聯結構，要求學生能依托某個事件聯想遷移，并能將多個事件聯系起來.此題解法較常規，運算量適中，只需思路清晰，定可迎刃而解.作為壓軸題之一的第19題，一改以往的“繁、難、巧”之姿，取而代之的是“靈、易、活”之態，背景親切，入口較寬，只需掌握此類問題的通法定可“跳一跳，摘得到”.依據SOLO分類理論評價此題，問題(1)處于單點結構，問題(2)處于多點結構，問題(3)處于關聯拓展結構，顯然遵循思維層級的逐步進階，關注學生的認知差異，具有較強的區分和選拔功能，有效落實了讓不同層次的學生得到不同程度的發展這一課程目標.

2.基本方法的考查

2019年江蘇高考試題處處體現人文關懷，以人為本，尊重差異.問題背景熟悉，問題表征明確，問題梯度合理，學生只需立足基本方法和基本思想，通過自身努力，一定能獲得成功的體驗和挑戰的樂趣.具體而言：填空1到9題及15、16題只需運用基本概念、基本定理即可解決，其他題目依據基本方法、基本思想也不難解決，比如題10，利用函數解析式設出點的坐標，依據點到直線的距離公式、基本不等式求出最值，再如向量題12，眾多學生口中的“棘手題”，其實用最樸素的“基向量”思想，將相關向量選取合適的基底向量進行分解表示即可輕松解決，當然采用“坐標化”的思想也是常規思維.作為填空壓軸題14，也是平時模擬訓練中的“常客”，只需利用函數性質，作出兩個函數的圖象，數形結合，以形助數，準確作答并非難事.顯而易見，命題著眼于基本方法和基本思想的考查，全卷彰顯學生思維的自然流暢.以下選取典型問題加以闡釋.

圖1

分析：本題的命題風格注重綜合性和關聯性，涉及的知識都是學生非常熟悉且必須掌握的，比如向量共線定理、平面向量基本定理、數量積的表示、平面幾何背景等，考查學生的多元表征能力和轉化化歸能力.此題入口較寬，解法多樣，思維自然，運算適度，具有較高的區分度，也比較契合學習進階理論所提倡的“尊重學生的認知差異，讓不同的學生獲得不同的思維進階”.

視角1基底搭橋，通法為上

視角2立足平幾，舉重若輕

若能關注點D，點E的特殊位置，聯系初中平面幾何中作平行線構造比例線段的常用策略，那么運算可以進一步簡化.可見，激活學生原有的經驗模塊，回溯問題的幾何本質，利于思維路徑的優化.

圖2

視角3等價轉化，積淀模型

數學解題從本質而言就是不斷地轉化與化歸，遇到新的問題情境，要善于捕捉條件與結論中的提示信息，聯系已有的經驗模型和方法模型，有效適配和轉化，形成清晰順暢的思維程式，并自覺固化，適時遷移.

圖3

視角4特殊建系，以簡馭繁

作為填空題，在不追求解題過程十分嚴謹的前提下，特殊化處理往往可以“出奇制勝”.當然，特殊化并非任性使用，而是有跡可循的.從此題的結論分析，所求結果為比值，說明與AB，AC的具體長度無關，進而合情推理可知與ΔABC的形狀無關，這樣特殊化處理就顯得有理有據.

圖4

當然，建系方式不拘一格，比如以B為原點，BC為x軸正半軸建系，也可以E為原點，EC為x軸正半軸建系，甚至可以設AB⊥EC，這樣即可以EC，EA為x軸，y軸建系.是否可以求得正確結果，留待讀者自己驗證.

點評：此題常規中蘊含創新，通法中不失變化.考查內容指向向量中的基礎知識和基本思想方法，命題背景也是歷年模擬和高考試題中經常出現的，給人以“似曾相識燕歸來”之感.由于此題解法多樣，內涵豐富，因此能有效區分學生的邏輯推理能力、運算能力和創新能力，也將轉化與化歸思想根植于學生的思維邏輯之中，完全吻合深化普通高中課程改革的方向.一言蔽之，本題能力立意精心，育人價值高遠.

圖5

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求點E的坐標.

分析：解析幾何歷來是高考的重點，考查學生的運算能力一直是學生的“軟肋”，而今年的圓錐曲線命題立意在于控制運算，凸顯思辨.試題涉及直線方程、圓方程，直線與圓、直線與橢圓的位置關系，橢圓方程、橢圓的幾何性質等基礎知識，綜合考查分析問題和運算求解的能力.值得一提，本題蘊含橢圓的一種對稱美，也可以用橢圓的對稱性簡化運算，引導學生追溯數學本質和品味數學之美.

這樣處理的依據為DF2的幾何特征是通徑的一半，其實也可從橢圓的定義入手，思路也很自然.

(2)標準答案和學生使用的方法都是聯立直線與圓方程，聯立直線與橢圓方程解交點，這是解析幾何中最樸實也是最重要的思想和方法，指向知識體系的本源與核心.

倘若能關注圓F2半徑為2a，橢圓的定義中也有2a，這絕非偶然，由此產生結構性聯想，理性數量關系，一種輕巧的解法應運而生.

點評：對于本題，顛覆了我們對解析幾何題“繁、難、怪”的慣性認知，考查內容簡樸、明晰，充分彰顯解析幾何的本質特征，坐標與方程在直線、圓、橢圓相互聯系中應用廣泛，符合江蘇考試說明中B級、C級考點要求.橢圓的對稱性在江蘇高考中“頻頻亮相”，值得我們關注，在本題中，若能透析問題的幾何背景，那么妙法可成，簡中蘊道.

三、教學啟示

高考雖然已經謝幕，但留個我們的思考是長遠的.對高考試題理性分析，有助于矯正和優化后續的教學決策.從考題之變、復習之失、學生之惑反思教學實踐，務必從精準、夯實、激活等方面提升教學效能，促進學生數學核心素養的可持續發展.

1.根植教材，夯基固本

江蘇高考秉持立足教材，立足通性通法的命題理念，高考試題的命題背景并非無本之木、無源之水，題源大多來自教材中的概念、公式、定理、例題、習題等，只不過經過一些改編或多次復合而已，正所謂“問渠那得清如許，唯有源頭活水來”.因而，教師在平時的概念教學中，可依據學習進階理論實施“慢教學”，借助數學史讓學生體會概念發現、發展和形成的過程，對概念的內涵和外延深度理解，讓學生在探源溯流中感悟數學文化之美.在復習教學中，探究高考題源的精彩，回溯數學問題的本質，積淀數學思想方法是擺脫題海，優效學習的有力武器.教師必須關注學生的認知基礎和認知障礙，為學生的思維進階設計合適的路徑，幫助學生從低層次思維水平向高階思維躍遷搭建“腳手架”，逐步提高發現和提出問題、分析和解決問題的關鍵能力.

2.強化通法，釋疑驅難

高考命題強調通性通法，即解決某類問題的基本思想方法，這是學生學習數學的“童子功”，而一些所謂“秒殺”的技巧，不過“花拳繡腿”而已，不足道哉.高三復習中，在解題中鞏固知識，提煉思想方法，形成遷移和創新的自覺，這才是優效復習的應有之義.在此過程中，特別要注重思想的引領和方法的設計：可以通過結構化設問引發學生的深度思考，如“解決這個問題需要什么？不需要什么？怎樣轉化？還有類似的解題經驗嗎？”等；題型設計要多角度、多層次，讓學生一題多變、一題多解，進而多題一解，力求“做一題，會一類，通一片”，舉一反三，觸類旁通.教師意識地喚醒和激活學生的原有認知，不斷同化和順應新的經驗和方法，逐漸內化和積淀，進而形成靈活應用，適度創新的自覺意識.

3.變中凝思，自我完善

近年來的高考，更多傾向于考查學生的數學關鍵能力，“多思精算”已成為當前高考的“時尚”，這也向我們教師傳遞重視能力培養的信號.美國著名哲學家、教育家杜威認為，在人的各種思維形式中，最好的思維是反省思維.著名數學教育波利亞曾說：“如果沒有了反思，他們就錯過了解題的一次重要而有效益的方面.”反思是一種學習，也是一種能力.通過對解決問題的反思，完善知識結構，總結經驗教訓，優化思維品質，提升關鍵能力.教師要善于“課堂留白”，從而引導學生“反思留痕”，具體而言：反思解題思路的形成，促進思維的深刻性，提升元認知水平；反思解題方法的多元化，培養思維的靈活性，形成理性選擇的意識；反思問題的變式和引申，促進思維的發散性和創造性，強化應用意識和創新能力；反思錯解的成因，提高思維的批判性，為優化思維決策提供診斷依據.誠然，師生合力才能推動“解后反思”的思維活動，才能發揮其應有的意義和價值，教師提供一條獲取課堂教學情況反饋的途徑，學生增加一次再學習、再提升、再創造的機會.