一道俄羅斯競賽題的探究與推廣

湖北省武昌實驗中學 (430061) 彭 景廣東省珠海市實驗中學 (519090) 王恒亮

問題(1999年俄羅斯數學奧賽試題)設x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,求證：x3+y3≤2.

最近筆者對該問題作了進一步探究，得到一些相關結果，現與讀者共享.

1.新的不等式鏈

結論1 設x,y≥0,x2+y3≥x3+y4,則x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

綜上可得x3+y3≤x2+y2≤x+y≤2.

2.結論的再推廣

結論2 設x,y≥0,xr-1+yr≥xr+yr+1,則

xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤….

特別地，若r∈N+,則xr+yr≤xr-1+yr-1≤xr-2+yr-2≤…≤x+y≤2.

類似地，利用數學歸納法，我們可以得到更一般的結論.