一道高考向量題多種解法的思維切入點(diǎn)

云南省昆明市第三中學(xué) (650500) 張興鋒

對(duì)高考試題的研究是中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教研的重要內(nèi)容.筆者深入研究了2017年全國(guó)卷Ⅲ理科第12題的解法,本文將從平面向量的核心知識(shí)點(diǎn)出發(fā)給出該題的幾種解法,并指出各種解法的思維切入點(diǎn).希望能給讀者一些啟發(fā).

分析:高中階段,平面向量的運(yùn)算涉及到了線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，而這兩種運(yùn)算又分別可以從幾何與代數(shù)的視角進(jìn)行處理.為了表述的方便,我們先作如下約定:

如圖1，設(shè)M為圓C與直線BD相切的切點(diǎn),直線MC與圓C的另一交點(diǎn)為N,直線MC與AD的交

圖1

切入點(diǎn)一：平面向量的線性運(yùn)算

點(diǎn)P在直線B′D′上?(1-λ)+(1-μ)=

-1?λ+μ=3.由點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上知點(diǎn)P在直線BD與直線B′D′之間,故λ+μ∈[1,3].

切入點(diǎn)二：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

評(píng)注：由于兩次應(yīng)用不等關(guān)系,而且兩次不等關(guān)系中取等號(hào)的條件不同,因此此法得到的數(shù)值不是其最大值.即是說,以上解法有誤.

解法7：由①得

解法8：由②得

[-1,1],因此λ+μ∈[1,3].

切入點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)化運(yùn)算

由ABCD是矩形不難想到建立平面直角坐標(biāo)系,進(jìn)而將平面向量的運(yùn)算進(jìn)行坐標(biāo)化,最后轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

一題多解是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的好辦法,但問題的關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握一題多解中各種方法的切入點(diǎn).本文以一道高考試題為載體進(jìn)行了嘗試,希望讀者能體會(huì)到各種方法都是基于平面向量最核心的知識(shí)點(diǎn)挖掘而來.