賞析2019年全國Ⅰ卷第16題的多解
2020-04-07 11:38:26江西省贛州市第三中學341000張曉輝
中學數學研究(江西) 2020年2期
江西省贛州市第三中學 (341000) 張曉輝
2019年全國卷Ⅰ理科第16題是一道綜合性強、難度較大的有關雙曲線離心率的好題，涉及雙曲線的漸近線、兩條直線的交點、兩條直線垂直等知識點.思維量大，對數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象及數據處理等核心素養要求較高.本文嘗試多視角分析解決這個問題，以強化知識之間的聯系，探究如何運用知識分析問題和解決問題，探討求雙曲線線離心率的基本思路和方法.
圖1
評析：由A為F1B的中點得xB=2xA-xF1，yB=2yA，而yB=2yA結構更簡.這類題型經常出現在圓錐曲線題型中，常常轉換成用韋達定理來求解.
評析：換元之后多個環節得到簡化，更是把計算難度降低了，解法2得到一些優化.
評析：“小題小做”，運用賦值法，體現從一般到特殊的轉化，問題的本質并沒有變化，卻能達成便于解決問題的目的，此法是解決小題的利器.
評析：換個角度看問題，發現總在不經意間，解法5，6，7通過不斷視角轉換，使得解答多姿多彩.
評析：具體問題具體分析，點B既是交點，又是直線OB上的點，這是條件的交叉點，關系式就建立了，解法7通過對直接設出點B的坐標，讓解法1得到優化.
圖2
評析：解法9，10，11側重數形結合，以形助數，以數輔形，通過數與形的相互轉化，從而達到解決問題的目的，達到事半功倍的效果.
評析：解法12，13充分利用圖形的幾何特征，巧妙構思，易于運算，借助雙曲線的定義，修成正果.
