活用伸縮變換 亮劍壓軸大題*
——以2019年全國Ⅱ卷理科第21題為例

甘肅省古浪縣第三中學 (733103) 王宗德 黃國鈺

2019年高考全國Ⅱ卷理科數學21題，試題以人教版A高中數學選修2-1《橢圓》這一節中的例3為原型，適度拓展改編，試題注重基礎，解題思路常規，注重通法通性，但運算能力要求較高，計算繁雜．如果利用伸縮變換將橢圓化成圓，用圓的幾何性質來解決橢圓問題，簡化問題，這樣會減少計算長度，降低計算難度．本文以伸縮變換解答該題，供師生參考．

1.真題再現

(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；

(2)過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G．

(ⅰ)證明：ΔPQG是直角三角形；

(ⅱ)求ΔPQG面積的最大值．

2.定義、性質回顧

(1)定義

(2)伸縮變換實現橢圓與圓的相互轉換

(3)伸縮變換的性質

性質1 伸縮變換前后，曲線(包括直線)的位置關系不改變(如：平行、相切、相交).

性質2 伸縮變換前后，同一直線上(或平行線上)的兩線段長度之比不改變.

性質4 一封閉圖形，經過伸縮變換的作用，變換后的面積S′與變換前的面積S之比為λμ．

3.真題新解

圖1

(2)(ⅰ)令

圖2

于是KP′Q′KQ′G′=2KPGKQG=-2，得KPGKQG=-1．故PQ⊥QG，所以ΔPQG是直角三角形．

SΔQ′P′G′=sin∠P′O′G′=sin2∠P′Q′G′=2sin∠P′Q′G′cos∠P′Q′G′．

要使SΔQ′P′G′取得最大值，只需sin∠P′O′G′取得最大值．由題意知∠P′O′G′是銳角而∠P′O′G′=2∠P′Q′G′，則∠P′Q′G′也是銳角，只需∠P′Q′G′取得最大值．